Родился 15 августа 1914 года в селе Перелоги (ныне Юрьев-Польский район Владимирской области). Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) во Владимире. В 1937 году окончил 2-ю авиационную школу Гражданского Воздушного Флота в городе Тамбове, в 1938 году - курсы усовершенствования командного состава в городе Ульяновске. Работал лётчиком-инструктором и командиром звена в аэроклубах Владимира и Кольчугино. В апреле 1940 года направлен на курсы усовершенствования при Центральном аэроклубе им. В. П. Чкалова в Москве. В декабре 1940 года курсы были преобразованы в Остафьевскую военную авиационную школу пилотов и курсанты были зачислены в ряды Красной Армии.

Начало Великой Отечественной войны встретил ещё курсантом. В августе 1941 года получил назначение лётчиком-инструктором в 8-й запасной авиационный полк. С декабря 1941 года сержант А. Е. Максимов в действующей армии. Боевую деятельность начал в составе 236-го ИАП, летал на Як-1. В июне 1942 года был ранен, после госпиталя окончил курсы командиров эскадрилий. В декабре 1942 года направлен в 516-й ИАП, где продолжал летать на Як-1. В ноябре 1943 года переведён в 247-й ИАП (5 февраля 1944 года преобразован в 156-й Гвардейский ИАП). Летал на Як-1, Як-7 и Як-9.

К январю 1945 года командир эскадрильи 156-го Гвардейского истребительного авиационного полка (12-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии майор А. Е. Максимов совершил 396 боевых вылетов, провёл 53 воздушных боя и сбил лично 19 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 6084).

Последний боевой вылет совершил 9 мая 1945 года, приземлившись на аэродроме в столице Чехословакии городе Праге. Войну закончил в должности заместителя командира полка. Всего совершил 412 боевых вылета, провёл 53 воздушных боя, в которых сбил лично 19 самолётов противника. Воевал на Западном, Юго-Западном, Степном, Воронежском, 1-м и 2-м Украинских фронтах. Был дважды ранен, трижды подбит, но всегда возвращался в строй.

После окончания войны продолжал служить в ВВС, был командиром авиационного полка, дивизии, корпуса. В 1953 году окончил Высшие лётно-тактические курсы усовершенствования офицерского состава. В декабре 1961 года генерал-майор авиации А. Е. Максимов уволен в запас с должности заместителя командира 3-го корпуса ПВО. Жил в городе Ярославле. Умер 23 марта 1984 года. Похоронен в городе Ярославле, на Воинском мемориальном кладбище.

Награждён орденами: Ленина (10.04.1945), Красного Знамени (22.07.1943, 19.03.1944, 21.01.1957), Александра Невского (15.12.1943), Отечественной войны 1-й степени (11.10.1943), Красной Звезды (04.06.1955, 30.12.1956); медалями.

Список известных воздушных побед А. Е. Максимова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
04.02.1942	1  Ю-88	Зобцово	Як-1
19.02.1942	1  Ю-88	Петрецово
	1  Ю-88	Кузнечики
18.06.1942	1  Ю-88	Спас-Деменск
19.06.1942	1  Ю-88	юго-западнее Спас-Деменск
04.07.1942	1  ФВ-189	южнее Белев
05.07.1943	2  Ю-87	Томаровка
05.09.1943	2  Ю-87	Кононенково
06.09.1943	1  Ме-109	Борки
07.10.1943	1  Ме-109	Анновка
07.12.1943	1  Ме-109	южнее Шаровка	Як-1, Як-7, Як-9.
11.12.1943	1  Ю-87	южнее Ново-Николаевка
	1  Ме-109	северо-восточнее Ново-Николаевка
30.01.1944	1  ФВ-189	Малая Виска - Липовка
01.02.1944	1  Хш-126	юго-западнее Арсеньевка
08.04.1944	1  ФВ-190	южнее станция Кукутне
24.08.1944	1  ФВ-190	западнее Стодолы
Всего сбитых самолётов - 19 + 0;  боевых вылетов - 412;  воздушных боёв - 53.