Родился 20 мая 1917 года в Севастополе (ныне город федерального значения). С 1937 года в рядах Красной Армии, призван Иваницким РВК (Иваницкий район Черниговской области Украины). Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 30 мая 1943 года старший лейтенант А. И. Максименко в действующей армии. Воевал в составе 160-го ИАП (14 апреля 1944 года преобразован в 137-й Гвардейский ИАП). Летал на Ла-5 и Ла-7 (в том числе на самолёте "Арзамасский школьник", построенном на добровольные средства школьников Арзамасского района). Сражался на Брянском, 1-м Прибалтийском, 3-м Белорусском, 2-м Прибалтийском и 1-м Белорусском фронтах.

К маю 1945 года заместитель командира 137-го Гвардейского истребительного авиационного полка (3-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии майор А. И. Максименко совершил 93 боевых вылета, провёл 37 воздушных боёв, в которых сбил лично 8 самолётов противника (в последнем наградном листе говорится о 8 личных и 1 групповой победах).

После окончания войны продолжал служить в ВВС. В запас вышел в звании Гвардии полковника. Умер в 2003 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (02.08.1943, 04.06.1945), Александра Невского (21.07.1944), Отечественной войны 1-й степени (10.09.1944), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды; медалями.