Родился 5 (18) января 1913 года в посёлке Рассказово (ныне город Тамбовской области). Окончил 7 классов в городе Каменское (ныне Днепродзержинск Днепропетровской области Украины). В 1931 году, после окончания Каменского ФЗУ, переехал в город Свердловск (с 1991 года - Екатеринбург), работал на строительстве "Уралмаша" (Уральский завод тяжёлого машиностроения), затем на заводе токарем, инструктором мотоотдела общества "Спартак". В рядах Красной Армии с июня 1934 по 1938 гг. и с 1940 года. В 1937 году окончил Оренбургскую военную авиационную школу лётчиков и лётчиков-наблюдателей.

С 22 июня 1941 года лейтенант А. А. Липилин на фронтах Великой Отечественной войны в должности адъютанта эскадрильи 41-го ИАП. Летал на МиГ-3 и Як-1. Дважды сбит и дважды ранен (29.08.1941 и 26.09.1941).

К 27 сентября 1941 года командир звена 41-го истребительного авиационного полка (7-я смешанная авиационная дивизия, Северо-Западный фронт) старший лейтенант А. А. Липилин совершил 112 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 8 и в составе группы 4 самолёта противника (в наградном листе говорится о 9 личных победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 февраля 1942 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 677).

Всего за годы войны капитан А. А. Липилин совершил 257 боевых вылетов, провёл около 50 воздушных боёв, в которых сбил лично 8 и в составе группы ещё 8 самолётов противника (в последнем наградном листе от 14 марта 1945 года говорится о 8 личных и 9 групповых победах). Воевал на Северо-Западном и Волховском фронтах.

С августа 1942 года служил в составе 3-го перегоночного авиационного полка (1-я перегоночная авиационная дивизия ГВФ), который обслуживал участок трассы от Сеймчана до Якутска, с января 1943 года - командир эскадрильи. С октября 1944 года майор А. А. Липилин - заместитель командира 5-го перегоночного авиационного полка (той же дивизии), на участке трассы от Киренска до Красноярска. Лично перегнал около 300 самолетов различных типов.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. С декабря 1949 года - командир авиационного полка, с декабря 1951 года - заместитель командира авиационной дивизии (в Польше), с декабря 1952 года - командир этой дивизии. В 1954 году окончил Курсы усовершенствования офицерского состава, в 1957 году - Высшие академические курсы при Военной академии Генерального штаба. С 1961 года Гвардии полковник А. А. Липилин - в запасе. Жил в Москве. До 1984 года работал инженером в Опытном конструкторском бюро П. О. Сухого. Умер 27 февраля 2003 года. Похоронен на Широкореченском кладбище в Екатеринбурге.

Награждён орденами: Ленина (26.11.1941, 24.02.1942), Красного Знамени (18.08.1945, ...), Отечественной войны 1-й степени (13.03.1944, 11.03.1985), Красной Звезды (дважды); медалями.

Список известных воздушных побед А. А. Липилина:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
27.06.1941	1  Ю-88	западнее Могилёв	МиГ-3
01.07.1941	1  Ю-88	аэродром Могилёв
02.07.1941	1  Ме-109	Борисов
03.07.1941	1  Ме-109	западнее Могилёв
	1  Хе-111	восточнее Бобруйск
26.07.1941	1  Ю-88	Пост № 43  (район Истра)
20.08.1941	1  Ме-109	южный берег озеро Ильмень
21.08.1941	3  Ме-110  (в гр. 3/5)	Бородин
22.08.1941	1  Ю-88	Демидово
27.08.1941	1  Ме-110  (в паре)	Вершина
18.02.1942	1  "Ме-115"  (в гр. 1/4)	Ольховка	МиГ-3, Як-1.
19.02.1942	1  "Ме-115"  (в гр. 1/3)	Лукино
07.05.1942	1  Ю-88  (в гр. 1/3)	Папоротно
	1  Ю-88  (в гр. 1/3)	Малая Вишера
Всего сбитых самолётов - 8 + 8;  боевых вылетов - 257;  воздушных боёв - около 50.

Из фотоматериалов разных лет:

Из материалов прессы военных лет: