Родился 14 апреля 1920 года в деревне Ларищево (Добрушский район Гомельской области Республики Беларусь). С 28 ноября 1938 года в рядах Красной Армии, призван Гомельским ГВК. В 1940 году окончил военную авиационную школу лётчиков и был направлен для прохождения службы в ВВС Белорусского военного округа.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант А. М. Легчаков в действующей армии. Воевал в составе 126-го ИАП (9-я САД, ВВС Западного фронта), летал на МиГ-3 или И-16. С 16 июля 1941 года - лётчик 42-го ИАП (9 октября 1943 года преобразован в 133-й Гвардейский ИАП). С 16 августа по 7 ноября 1941 года сражался на Брянском фронте, летал на МиГ-3. 15 октября 1941 года во время штурмовки вражеского аэродрома в городе Орёл был подбит зенитной артиллерией противника, ранен осколком в ногу, но сумел перетянуть через линию фронта и совершить вынужденную посадку. С 11 ноября 1941 года по 18 марта 1942 года переучивался на ЛаГГ-3 в 1-м ЗИАП Московского военного округа.

1 апреля 1942 года приступил к боевой работе на Брянском фронте (в составе 7-й Ударной авиагруппы Резерва СВГК). С 30 мая 1942 года сражался на Западном фронте (в составе 202-й ИАД). По 10 августа 1942 года принимал участие в войсковых испытаниях самолёта ЛаГГ-3-37 (вооружённого 37-мм пушкой конструкторского бюро Б. Г. Шпитального), выполнил 53 боевых вылета, в 11 воздушных боях сбил 2 Ме-109 и 2 Ю-88.

С 31 октября 1942 года сражался на Северо-Западном фронте (в составе 240-й ИАД), летая на Як-7Б. С 18 апреля 1943 года - уже на Ленинградском фронте. С 26 августа 1943 года - на Калининском и 1-м Прибалтийском фронтах, где летал уже на Як-9. С 12 июня 1944 года - на 3-м Белорусском фронте. С 14 апреля 1945 года - в составе ВВС 1-го Белорусского фронта принимал участие в Берлинской операции.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 133-го Гвардейского истребительного авиационного полка (240-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии майор А. М. Легчаков совершил 274 боевых вылета, провёл более 50 воздушных боёв, сбил лично 11 и в составе группы 4 самолёта противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 6 мая 1955 года Гвардии подполковник А. М. Легчаков - в запасе.

Награждён орденами:  Красного Знамени (17.07.1942, 23.03.1943, 07.07.1944),   Александра Невского (12.10.1943),  Отечественной войны 1-й степени (13.09.1943, 11.03.1985),   Красной Звезды (26.10.1955); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).