Родился 14 ноября 1922 года в городе Юрьев-Польский (ныне Юрьев-Польского района Владимирской области). Окончил среднюю школу и Ивановский аэроклуб. С 23 декабря 1940 года в рядах Красной Армии, призван Фрунзенским РВК (города Иваново). В 1941 году окончил Серпуховскую военную авиационную школу лётчиков. Служил пилотом в 13-м ЗИАП Приволжского военного округа.

С 23 сентября 1941 года сержант Л. П. Лапин в действующей армии. Воевать начал в 12-м ИАП (6-я САД, ВВС Северо-Западного фронта), летая на Як-1. С октября по ноябрь 1941 года воевал в 57-м САП (ВВС 49-й Армии, Западный фронт), где летал на И-153. С 25 марта 1942 года - лётчик 1-й эскадрильи 20-го ИАП ВМФ (в составе Ударной авиационной группы Резерва Ставки ВГК), летал на Як-1. В период с 5 июня 1942 года полк действовал в оперативном подчинении ВВС Волховского фронта. 25 июня 1942 года УАГ СВГК была преобразована в Особую Морскую авиагруппу СВГК. 5 июля 1942 года, в составе ОМАГ СВГК, полк начал перебазироваться на Северный Флот, где продолжил вести боевую работу.

25 августа 1942 года сержант Л. П. Лапин был тяжело ранен в воздушном бою (осколочное ранение правой стопы), произвёл вынужденную посадку на поле. После долгого лечения в госпитале (пришлось ампутировать ступню), 13 марта 1943 года был уволен в запас по инвалидности. Однако, добился возвращения в строй и 22 июля 1943 года вернулся в свой полк. Летал с протезом стопы.

С ноября 1943 года воевал в 118-м ОРАП ВВС СФ, летая на Як-9. В марте 1944 года вернулся в 20-й ИАП ВМФ (6-я ИАБР, ВВС Северного Флота). 13 марта был подбит в воздушном бою возле Вайтолахти, совершил вынужденную посадку (самолёт разбит). вскоре был назначен командиром звена. С августа 1944 года - заместитель командира 1-й эскадрильи. Принял участие в боевых действиях полка в ходе Петсамо-Киркенесской наступательной операции войск Карельского фронта. Летал на Як-1 и Як-9.

К ноябрю 1944 года заместитель командира 1-й эскадрильи 20-го истребительного авиационного полка (14-я смешанная авиационная дивизия, ВВС Краснознамённого Балтийского Флота) старший лейтенант Л. П. Лапин совершил 157 боевых вылетов, в 35 воздушных боях сбил лично 8 и в составе группы 1 самолёт противника (ещё 1 личная победа записана предположительно). С ноября 1944 года полк боевой работы не вёл, занимался по плану учебно-боевой подготовки. Закончил войну в должности командира 2-й эскадрильи.

После войны продолжал служить на различных должностях в авиации ВМФ. Окончил Военно-Воздушную академию имени Жуковского. Служил на Северном Флоте, затем на Черноморском Флоте. С 20 июня 1964 года инженер-подполковник Л. П. Лапин - в запасе. Проживал в городе Севастополь (Крым).

Награждён орденами: Красного Знамени (29.11.1943, 05.04.1944), Нахимова 2-й степени (30.11.1944), Отечественной войны 1-й степени (30.11.1945, 11.03.1985); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).