Родился 22 ноября 1922 года в городе Баку (столица Республики Азербайджан). Окончил 10 классов средней школы и городской аэроклуб. 22 мая 1941 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Джапаридзевским РВК (города Баку). В 1942 году окончил Сталинградское военное авиационное училище лётчиков. Затем проходил переучивание на новую технику в 8-м ЗИАП (ВВС Приволжского военного округа).

С октября 1942 года сержант А. Г. Кулиев в действующей армии. Воевал в составе 653-го ИАП (18 марта 1943 года преобразован в 65-й Гвардейский ИАП), где прошёл путь от рядового лётчика до заместителя командира эскадрильи. Сражался на Калининском, Северо-Западном, Брянском, 2-м Прибалтийском, 1-м Прибалтийском, 3-м Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. 14 марта 1943 года был сбит в районе города Старая Русса, сумел довести самолёт до линии фронта, выбросился с парашютом, благополучно приземлился у линии фронта. Летал на Як-1, Як-9 и Як-3.

К сентябрю 1944 года заместитель командира, он же штурман эскадрильи 65-го Гвардейского истребительного авиационного полка (4-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 3-я Воздушная армия, 1-й Прибалтийский фронт) Гвардии капитан А. Г. Кулиев совершил 141 боевой вылет, в 38 воздушных боях сбил лично 15 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 5932).

К 9 мая маю 1945 года совершил около 265 боевых вылетов, провёл 64 воздушных боя и сбил лично 20 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. В 1956 году окончил Военно-Воздушную академию (в Монино). С 13 августа 1966 года Гвардии полковник А. Г. Кулиев - в запасе. Жил в городе Баку. Работал начальником аэропорта, начальником отдела Азербайджанского потребительского общества. Умер 16 декабря 1992 года. Похоронен в Баку на Аллее почётного захоронения.

Награждён орденами: Ленина (23.02.1945), Красного Знамени (09.10.1943, 21.07.1944, 17.09.1944), Александра Невского (31.07.1945), Отечественной войны 1-й степени (21.07.1944, 19.08.1944, 11.03.1985), Красной Звезды (15.03.1943); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).