Родился 4 сентября 1921 года в деревне Старое Закружье (ныне Ветковский район Гомельской области Белоруссии). Окончил 7 классов школы № 20 в городе Могилёве. С 1936 года работал слесарем на Могилёвском авторемонтном заводе имени Кирова. В 1939 году окончил городской аэроклуб. С 6 апреля 1940 года в рядах Красной Армии. В 1942 году окончил Армавирскую военную авиационную школу пилотов.

С 15 июля 1942 года сержант А. М. Кулагин в действующей армии. Боевую деятельность начал в должности пилота 821-го ИАП (236-я ИАД, 5-я Воздушная армия, Закавказский фронт), летал на Як-1 и ЛаГГ-3. С декабря 1942 года воевал в 249-м ИАП (14 апреля 1944 года преобразован в 163-й Гвардейский ИАП). Летал на ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7. 26 июня 1943 года в воздушном бою получил осколочное ранение в ногу.

К февралю 1944 года заместитель командира эскадрильи 249-го истребительного авиационног полка (229-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, ВВС Отдельной Приморской армии) старший лейтенант А. М. Кулагин совершил 320 боевых вылетов, в 106 воздушных боях сбил лично 22 и группе 4 самолёта противника. 15 апреля 1944 года был ранен в ногу огнём зенитной артиллерии. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 3857).

К 9 мая 1945 года помощник командира по воздушно-стрелковой службе 163-го Гвардейского истребительного авиационного полка (229-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) Гвардии капитан А. М. Кулагин совершил 762 боевых вылета, провёл 153 воздушных боя, сбил лично 30 и в составе группы 5 самолётов противника. Сражался на Закавказском, Южном, Северо-Кавказском, 4-м Украинском, 2-м Белорусском фронтах и ВВС Отдельной Приморской армии.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. В 1945 году окончил Высшие офицерские лётно-тактические курсы ВВС, а в 1954 году - Военно-Воздушную академию. С 10 ноября 1955 года Гвардии полковник А. М Кулагин - в запасе. Жил в городе Минске. С 1959 года работал инструктором Заводского районного комитета Коммунистической партии, с 1961 года - инструктором и заведующим отделом административных органов ЦК КПБ. Умер 9 августа 1980 года, похоронен на Восточном кладбище.

Награждён орденами: Ленина (01.07.1944), Красного Знамени (05.04.1943, 15.04.1944, 20.09.1944), Александра Невского (16.04.1945), Отечественной войны 1-й степени (14.07.1943), Красной Звезды (30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (13.06.1952).