Родился 20 июля 1920 года в городе Черемхово (Черемховский район Иркутской области). С 15 июля 1940 года в рядах Красной Армии, призван Иркутским ОВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил пилотом в 8-м ЗИАП (ВВС Приволжского военного округа).

С октября 1941 года сержант Б. С. Кучинский в действующей армии. Воевать начал в должности пилота 282-го ИАП (102-я ИАД, Сталинградский район ПВО; 18 марта 1942 года переименован в 788-й ИАП), летал на Як-1. 15 августа 1942 года был сбит в воздушном бою, получил ранение в ногу. В сентябре 1942 года был направлен в 287-й ИАП (269-я ИАД). Летал на Як-7, Як-9 и Як-3. 12 марта 1943 года был снова сбит в воздушном бою, тяжело ранен в ногу, до сентября 1943 года лечился в госпитале.

К 9 мая 1945 года старший лётчик 287-го истребительного авиационного полка (269-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) лейтенант Б. С. Кучинский совершил 195 боевых вылетов, в 36 воздушных боях сбил лично 6 самолётов противника. Сражался на Сталинградском, Воронежском, Волховском, Ленинградском, 3-м Прибалтийском и 2-м Белорусском фронтах.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 23 декабря 1945 года - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (20.09.1944, 08.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985).