Родился 23 февраля 1920 года в селе Сергиевское (ныне город Плавск Тульской области), учился там в начальной школе. В 1931 году переехал с родителями в Москву. В 1936 году окончил 8 классов, в 1938 году - школу ФЗУ завода № 230. Работал слесарем-механиком на заводе № 6 в Москве. В 1940 году окончил аэроклуб Метростроя. С января 1941 года в рядах Красной Армии. В июле 1941 года окончил Армавирскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС на Дальнем Востоке.

С 13 апреля 1943 года младший лейтенант Ф. М. Костиков на фронтах Великой Отечественной войны в составе 43-го ИАП (лётчик, старший лётчик и командир звена). Воевал на Северо-Кавказском, Южном, 4-м Украинском, 3-м Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. Летал на Як-7, Як-1, Як-9.

К 9 мая 1945 года командир звена 43-го истребительного авиационного полка (278-я истребительная авиационная дивизия, 3-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) старший лейтенант Ф. М. Костиков совершил 223 боевых вылета, провёл 69 воздушных боёв, в которых сбил лично 15 и в составе группы 9 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 6145).

После войны продолжал служить в ВВС. В 1946 году окончил Липецкую высшую офицерскую лётно-тактическую школу ВВС. До 1949 года служил в Группе Советских войск в Германии, был заместителем командира эскадрильи и начальником воздушно-стрелковой службы истребительного авиаполка. В 1954 году окончил Военно-Воздушную академию (в Монино). Был заместителем командира истребительного авиаполка по лётной подготовке, а с 1955 года - заместителем начальника штаба истребительного авиаполка в Белорусском военном округе. Затем служил в Управлении 73-й Воздушной армии (Туркестанский военный округ), офицером и старшим офицером оперативного отдела штаба (1956-1959), ответственным дежурным по командному пункту (1959-1960). С апреля 1960 года полковник Ф. М. Костиков - в запасе.

Работал начальником отдела кадров на заводе № 5 (1960-1961), инженером в Министерстве связи СССР (1961-1963), на оборонном предприятии (1963-1965), в Научно-Исследовательском Институте вакуумной техники (1965-1974), ведущим инженером на Московском заводе электровакуумных приборов (1974-1983). Умер 25 октября 1995 года, похоронен в Москве на Востряковском кладбище.

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946), Красного Знамени (27.03.1944, 15.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (08.08.1944, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (12.01.1944); медалями.

Список известных воздушных побед Ф. М. Костикова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
13.05.1943	1  Ме-109	Красный	Як-7
18.09.1943	1  Ме-109  (в паре)	Омельник	Як-1, Як-9.
21.09.1943	1  Хе-111	Щербаково
	1  ФВ-189  (в паре)	Янчекрак
	1  ФВ-189  (в гр. 1/3)	северо-западнее Луговой
25.09.1943	1  Хе-111  (в гр. 1/4)	восточнее Веселянка
27.09.1943	1  Ю-88  (в гр. 1/4)	западнее Копани
	2  Ю-88	Копани
	1  Ю-88  (в паре)	Тиффенбрук
29.09.1943	1  Ю-87  (в паре)	южная окраина Вишневский
24.10.1943	1  Ю-87	Ново-Николаевка
26.10.1943	2  Ю-87  (в гр. 2/5)	Акимовка
13.02.1944	1  Ю-88	севернее Грушевский
24.04.1944	1  ФВ-190	западнее Сапун-Гора	Як-9
07.07.1944	1  Ю-87	Шумск
09.07.1944	1  ФВ-190	Полубочки
10.07.1944	1  Ю-52	Ландворово
20.08.1944	1  ФВ-190	юго-западнее Куртовяны
23.03.1945	1  ФВ-190	Альт-Тухебанд
18.04.1945	1  ФВ-190	южнее Гузов
22.04.1945	1  ФВ-190	западнее Вернойхее
01.05.1945	1  ФВ-190	севернее Шмецдорф
Всего сбитых самолётов - 15 + 9;  боевых вылетов - 223;  воздушных боёв - 69.

Из фотоматериалов разных лет: