Родился 23 января 1920 года в селе Талдысай (ныне Хобдинский район Актюбинской области Казахстана). В 1935 окончил 7 классов школы в селе Белогорье (Ореховский район Запорожской области Украины), в 1937 - курсы счетоводов в городе Бердянск (Запорожская область). Работал счетоводом Пологского райпотребсоюза (1935-1938), начальником техконторы станции Пологи (1938-1939), токарем на авиазаводе № 165 (город Днепропетровск). В 1939 окончил Сталинский аэроклуб в Днепропетровске. С 10 апреля 1940 года в рядах Красной Армии, призван Хобдинским РВК. В том же году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. В 1941-1942 гг. работал инструктором-лётчиком в Одесской ВАШЛ. В 1943 году окончил курсы командиров звеньев при 3-й запасной авиационной бригаде (Приволжский Военный округ).

С июня 1943 года младший лейтенант А. А. Копиченко в действующей армии. Воевал в составе 659-го ИАП (командир звена, помощник командира полка по воздушно-стрелковой службе, командир эскадрильи). Сражался на Юго-Западном и 3-м Украинских фронтах. Летал на Як-1, Як-7, Як-9 и Як-3.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 659-го истребительного авиационного полка (288-я истребительная авиационная дивизия, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) капитан А. А. Копиченко совершил 262 боевых вылета, провёл 73 воздушных боя, сбил лично 17 и в составе группы 2 самолёта противника (в наградных документах говорится о 17 личных и 3 групповых победах, а также 3 уничтоженных аэростатах).

После войны продолжал службу в строевых частях ВВС (Южная группа войск). В 1946 году окончил Курсы усовершенствования офицерского состава (город Липецк). С января 1952 года по июнь 1968 года - старший инспектор и лётчик-испытатель Управления опытного строительства и серийных заказов авиационной техники ВВС. С 25 июня 1968 года полковник А. А. Копиченко - в запасе. С 1970 года работал инженером-конструктором в ОКБ П. О. Сухого. Жил в Москве. Умер 29 августа 1978 года, похоронен на Химкинском кладбище.

Награждён орденами:  Красного Знамени (17.06.1943, 30.05.1944, 06.03.1945),   Александра Невского (20.09.1944),  Отечественной войны 1-й степени (15.08.1943), Красной Звезды (30.12.1956), Партизанской звезды 3-й степени (30.04.1945, Югославия); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).