Родился 9 ноября 1916 года в селе Ляхи (ныне Меленковский район Владимирской области). Окончив 5 классов, переехал в рабочий посёлок Шиморское (Выксунский район Нижегородской области) к отцу, который работал на судоремонтном заводе. Здесь окончил 7 классов, затем 2 года учился в Горьковском техникуме Речного Флота. В связи с тяжёлым материальным положением семьи учебу в техникуме вынужден был прекратить. Работал токарем на Шиморском судоремонтном заводе. С октября 1936 года - на комсомольской работе, был пропагандистом в политотделе Московско-Окского речного пароходства. Жил в городе Рязань (Рязанская область), занимался в аэроклубе. В 1938 году поступил в Ульяновскую лётную школу Осоавиахима. Окончив её, работал лётчиком-инструктором, затем командиром отряда аэроклуба города Дзержинска (Горьковской, ныне Нижегородской области). С 15 ноября 1941 года в рядах Красной Армии, призван Дзержинским ГВК. Лётчики аэроклуба на своих самолетах У-2 убыли в город Алатырь (Чувашия), где формировался 708-й ЛБАП.

С февраля 1942 года старшина Н. С. Конышев в действующей армии. Сражался на Калининском фронте, выполнил 51 боевой вылет на У-2. Летал на связь с партизанами в районе города Ржева, с конным корпусом генерала Л. М. Доватора во время его глубокого рейда по тылам врага. В апреле 1942 года, возвращаясь с боевого задания, обнаружил на земле наш бомбардировщик СБ, совершивший вынужденную посадку в расположении врага. Оказал помощь пострадавшему экипажу, с напарником за 4 вылета доставил к сбитому самолёту канистры с горючим и экипаж смог вернуться на свой аэродром. Весной 1942 года едва не попал под трибунал, отказался вылетать на перегруженном самолёте. После беседы с командующим армией М. М. Громовым опасность миновала.

Весной 1942 года был направлен в 5-й УТАП (3-я Воздушная армия), где переучился на лётчика-истребителя. С 10 октября 1942 года воевал в составе 163-го ИАП (336-я ИАД). Летал на Як-7 и Як-9 (разных типов). Был командиром звена, старшим лётчиком, заместителем и командиром эскадрильи. Сражался на Центральном, 1-м Белорусском, 1-м, 2-м и 3-м Украинских и 2-м Прибалтийском фронтах. Принимал участие в боях на Курской дуге, освобождении Белоруссии и Польши.

К началу марта 1945 года командир эскадрильи 163-го истребительного авиационного полка (336-я истребительная авиационная дивизия, 15-я Воздушная армия, 2-й Прибалтийский фронт) майор Н. С. Конышев совершил 287 боевых вылетов, в 41 воздушном бою сбил лично 17 самолётов противника (в наградном листе говорится о 18 личных победах). За эти подвиги был представлен к высшей награде страны. В апреле 1945 года был переведён в 265-й ИАП (336-я ИАД), в котором летал на Як-9У.

К 9 мая 1945 года штурман 265-го истребительного авиационного полка (336-я истребительная авиационная дивизия, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) майор Н. С. Конышев совершил 296 боевых вылетов (включая вылеты на У-2), провёл 53 воздушных боя, число воздушных побед не изменилось. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 августа 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 8042).

После войны продолжал службу в армии. С 4 февраля 1960 года подполковник Н. С. Конышев - в запасе. Жил в городе Рига (столица Латвии). Работал в Управлении Гражданской Авиации. С 1969 года жил и трудился в городе Дзержинске (ныне - Нижегородской области) на Чернореченском химическом заводе. Умер 15 августа 1972 года. Похоронен на городском кладбище в Дзержинске.

В посёлке Шиморское (на здании школы) и в городе Дзержинск (на доме где жил) установлены мемориальные доски. Имя Героя увековечено на стеле заводчанам в посёлке Шиморское.

Награждён орденами: Ленина (18.08.1945), Красного Знамени (14.04.1944, 01.05.1944, 08.01.1945), Александра Невского (09.09.1944), Отечественной войны 2-й степени (27.07.1943), Красной Звезды (15.07.1942); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (13.06.1952).