Родился 10 мая 1916 года в селе Лечинкай (ныне Чегемский район Кабардино-Балкарской Республики). Учился в Котляревском зоотехникуме, увлекался спортом. Осенью 1934 года на 1-й колхозно-совхозной спартакиаде республики, посвящённой награждению Кабардино-Балкарии орденом Ленина, Назир Конукоев занимает 2-е место по прыжкам в высоту. Окончить техникум не удалось, помешала болезнь. После излечения работал в родном колхозе "Первый шаг" секретарём комитета комсомольской организации. С 12 ноября 1935 года в рядах Красной Армии. Поступил в Орджоникидзевское военно-пехотное училище, затем перевёлся - на кавалерийское отделение Тбилисского военного училища. В июне 1938 года, получив звание лейтенанта, продолжил воинскую службу в Белорусском Особом военном округе в должности командира кавалерийского взвода, через 3 месяца был назначен помощником начальника штаба полка по разведке.

17 сентября 1939 года кавалерийский полк, в котором служил Н. Т. Конукоев, пересёк границу в районе местечка Рубежевич (Польша). Здесь, на самой границе, будущий лётчик-ас получил первое боевое крещение: он обеспечил разведку путей перехода через границу и провёл через них эскадроны полка. За отличное выполнение боевых заданий командования в этот период лейтенант Н. Т. Конукоев был награждён Почётным оружием.

В мае 1941 года по особому набору Генерального штаба Красной Армии Н. Т. Конукоев был направлен в Военно-Воздушные Силы и принят в Краснодарскую военно-авиационную школу пилотов. В сентябре 1941 года окончил на "отлично" школу первоначального обучения и в числе 40 лучших выпускников был направлен в Ульяновское военно-авиационное училище для дальнейшего продолжения учебы, а затем и на 6-месячные курсы командиров звеньев (в городе Тамбове).

С сентября 1943 года лейтенант Н. Т. Конукоев в действующей армии: в составе 402-го ИАП (265-я ИАД, 3-й ИАК РСВГК), летал на Як-1 (в том числе, полученном в дар от трудящихся города Вольска) и Як-9. 1 мая 1944 года был подбит в воздушном бою, на сильно повреждённом самолёте сумел добраться до аэродрома. Затем, до окончания войны, воевал в 43-м ИАП (278-я ИАД), где летал на Як-9. Сражался на Южном, 4-м Украинском, 1-м Белорусском и 3-м Белорусском фронтах.

24 апреля 1945 года, выполняя аэрофотосъемку аэродрома "Темпельгоф" в Берлине, был подбит зенитным огнём противника, отказал мотор. Лётчик стал планировать на восток, в сторону своего аэродрома. Но над пригородом Берлина - Хопегартеном машина стала резко терять высоту. До земли оставалось 150 метров, когда Н. Т. Конукоев заметил ровную поляну. Самолёт посадил "на брюхо". Во время посадки ударился головой о прицел и потерял сознание. Выручили его наши войска, которые только что заняли Хопегартен.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 43-го истребительного авиационного полка (278-я истребительная авиационная дивизия, 3-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) подполковник Н. Т. Конукоев совершил 229 боевых вылетов (включая 47 на разведку), в 65 воздушных боях сбил лично 14 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 мая 1965 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 10676).

После войны продолжил службу на различных должностях в ВВС. В 1953 году окончил Высшие офицерские лётно-тактические курсы (в городе Липецке). С 10 июля 1954 года подполковник Н. Т. Конукоев - в запасе. Жил в городе Нальчике. С 1961 по 1975 год являлся директором пансионата "Заря". Умер 30 октября 1975 года. Похоронен в родном селении.

Именем Героя названа одна из улиц города Нальчика и центральная улица родного селения. В городе Нальчике на фасаде дома, в котором он жил, 11 августа 2009 года установлена мемориальная доска. Он увековечен и бронзовым бюстом в родном селе Лечинкай (1983 год). В честь 40-летия Победы в Великой Отечественной войне одна из вершин Кавказского Хребта была названа именем Назира Конукоева. 14 марта 1974 года избран Почётным гражданином города Вольска (Саратовская область).

Награждён орденами: Ленина (06.05.1965), Красного Знамени (23.02.1944, 29.06.1945), Красной Звезды (24.10.1943, 17.05.1951); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (06.05.1946).