Родился 25 мая 1912 года в селе Кардаиловка (ныне Поворинский район Воронежской области). Жил и учился в селе Пески (того же Поворинского района). Окончил школу сельской молодёжи. Работал секретарём Кардаиловского сельсовета, посыльным фельдсвязи райотдела ОГПУ. 25 сентября 1931 года добровольно вступил в ряды Красной Армии. Служил в 95-м артиллерийском полку. С 1934 года - техник по топографии 6-го стрелкового корпуса. В 1936 году направлен в Одесскую военную авиационную школу пилотов. С ноября 1936 года служил младшим лётчиком в 41-й ИАЭ (83-я АБ, Белорусский военный округ).

Участник Китайско-Японской войны с 8 октября 1937 года по 15 мая 1938 года. Летал на И-16, в воздушных боях сбил в группе 1 самолёт противника. Награждён орденом Красного Знамени.

Затем служил помощником командира эскадрильи в 20-м ИАП (Белорусский Особый военный округ), с апреля 1940 года - командир эскадрильи в том же 20-м ИАП.

С 22 июня 1941 года капитан Г. Н. Конев в действующей армии: в должности командира эскадрильи 20-го ИАП (17-я САД, ВВС Южного фронта), летал на Як-1. С августа 1941 года - штурман 20 / 744-го ИАП (61-я САД, ВВС Брянского фронта; 240-я ИАД, ВВС Северо-Западного фронта), летал на Як-1. 31 марта 1942 года представлялся к званию Героя Советского Союза, но не получил его (награждён орденом Красного Знамени). С 14 апреля 1942 года - старший инспектор-лётчик по технике пилотирования ВВС Северо-Западного фронта. С 25 июля 1942 года - командир 161-го ИАП (240-я ИАД), где продолжал летать на Як-1. С 24 ноября 1942 года - командир 21-го Гвардейского ИАП (240-я ИАД), летал на Як-1 и Ла-5.

К декабрю 1942 года командир 21-го Гвардейского истребительного авиационного полка (240-я истребительная авиационная дивизия, 6-я Воздушная армия, Северо-Западный фронт) Гвардии подполковник Г. Н. Конев совершил 312 боевых вылетов, провёл 98 воздушных боёв, сбил лично 6 и в составе группы 16 самолётов противника (в наградном листе говорится о 14 личных и 18 групповых победах). 30 декабря 1942 года погиб в воздушном бою. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 мая 1943 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Похоронен в деревне Кузьминское (Парфинский район Новгородской области), где установлен обелиск. Весной 1944 года в память о своём племяннике колхозник В. В. Конев на собственные сбережения приобрёл истребитель Ла-5Ф. На машине были выведены надписи: на левом борту - "Имени Героя Советского Союза подполковника Конева Г. Н.", на правом - "От колхозника Конева Василия Викторовича". Самолёт был передан Ивану Кожедубу. После его перевода в 176-й Гвардейский ИАП, на самолёте воевали Кирилл Евстигнеев и Павел Брызгалов.

Награждён орденами: Ленина (01.05.1943, посмертно), Красного Знамени (14.03.1938, 02.08.1941, 18.09.1941, 21.08.1942); медалями.