Родился 27 сентября 1923 года в селе Бело-Котлово (Починковский район Смоленской области). С 22 августа 1940 года в рядах Красной Армии, призван Починковским РВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков. В сентябре 1943 года был направлен для прохождения службы в 133-й ИАП, который находился в Резерве СВГК и боевой работы не вёл (в Московском военном округе перевооружался на истребители Як-9Т).

С 1 октября 1943 года младший лейтенант А. А. Кольцов в действующей армии. Воевал в составе 133-го ИАП (234-я ИАД). Прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Сражался на Центральном, Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. Летал на Як-9 и Як-3.

К 9 мая 1945 года командир звена 133-го истребительного авиационного полка (234-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) старший лейтенант А. А. Кольцов совершил 144 боевых вылетов, в 31 воздушном бою сбил лично 11 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 5 февраля 1960 года майор А. А. Кольцов - в запасе. Умер 16 ноября 1969 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (04.10.1944, 05.05.1945, 10.05.1945), Красной Звезды (26.01.1944); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).