Родился 18 декабря 1922 года в городе Свердловске (ныне Екатеринбург). Вырос во Владикавказе, там же окончил среднюю школу и аэроклуб. Учась в 9 классе, в Москве на соревнованиях по самолётному спорту среди юношей занял 2 место. После школы поступил в институт, но окончить его не пришлось. С 5 января 1941 года в рядах Красной Армии, призван Чистопольским ГВК (Татарская АССР). После окончания Краснодарской военной авиационной школы пилотов был направлен в 14-й ЗИАП, затем в 8-й УТАП.

С сентября 1943 года младший лейтенант Б. А. Князев в действующей армии. Воевал в составе 72-го Гвардейского ИАП (5-я Гвардейская ИАД), где прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Сражался на Северо-Западном, 2-м Прибалтийском, 1-м Прибалтийском, 3-м Белорусском и Ленинградском фронтах. Некоторое время был ведомым у Героя Советского Союза И. Д. Лихобабина. Летал на Як-7 и "Аэрокобре".

К 9 мая 1945 года командир звена 72-го Гвардейского истребительного авиационного полка (5-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 11-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) Гвардии лейтенант Б. А. Князев совершил 265 боевых вылетов, в 27 воздушных боях сбил лично 8 самолётов противника. Самого 3 раза сбивали зенитки.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. В 1950-1951 гг. выполнял интернациональный долг в Корее, побед не имел. Потом служил в авиации ВМФ. Последняя должность по службе: заместитель командира по лётной подготовке Отдельного полка морской авиации Тихоокеанского Флота. С 16 июня 1965 года Гвардии полковник Б. А. Князев - в запасе. Жил в городе Алма-Ата (ныне Алматы, Казахстан). Прошёл трудовой путь от диспетчера службы движения Алматинского объединённого авиаотряда до старшего инспектора Управления гражданской авиации Министерства гражданской авиации Казахской ССР. Имел несколько поощрений и наград, в том числе медаль "Ветеран труда". С 1988 года - на заслуженном отдыхе. Умер 8 апреля 2017 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (19.08.1944, 03.03.1945, ...), Отечественной войны 1-й степени (10.05.1945, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (21.07.1944); медалями.