Родился 9 мая 1917 года в селе Александровка (ныне Мордовский район Тамбовской области). С 1930 года жил в Москве. Окончил 7 классов школы № 57. Затем уехал в Ленинград, где окончил школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал формовщиком в литейном цехе, учился в авиационном техникуме. С 23 сентября 1936 года в рядах Красной Армии (призван по специальному набору Московским РВК г. Ленинграда). В 1939 году окончил Чкаловское (Оренбургское) военное авиационное училище лётчиков.

С 19 апреля 1943 года младший лейтенант В. В. Климов на фронтах Великой Отечественной войны. Боевую деятельность начал в составе 274-го ИАП (278-я ИАД, 3-й ИАК). Летал на Як-7, Як-1 и Як-9. 7 мая 1943 года сбил сразу 5 бомбардировщиков Ю-87, но и сам подбит. Получив тяжёлое ранение, сумел выбросился из горящего самолёта с парашютом. После лечения в госпитале, с сентября 1943 года продолжил боевую работу. С декабря 1944 года сражался в 15-м ИАП (278-я ИАД), где летал на Як-3.

К марту 1945 года штурман 15-го истребительного авиационного полка (278-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) майор В. В. Климов совершил 263 боевых вылета, в 65 воздушных боях сбил лично 17 и в группе 2 самолёта противника (в наградном листе говорится о 22 личных и 2 групповых победах). За эти подвиги представлен к высшей награде страны.

К 9 мая 1945 года выполнил 303 боевых вылета, провёл около 70 воздушных боёв, в которых сбил лично 19 и в составе группы 2 самолёта противника. Воевал на Северо-Кавказском, Южном, 4-м Украинском, 3-м Белорусском, 1-м Белорусском фронтах. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 8265).

После окончания войны продолжал службу в ВВС. С 28 января 1946 года майор В. В. Климов - в запасе. Жил в городе Чкалов (ныне - Оренбург). Окончил областную партийную школу, работал помощником секретаря Чкаловского обкома партии. В 1950 года снова призван в Советскую Армию. Осваивал реактивную авиацию. С 30 декабря 1957 года подполковник В. В. Климов - в отставке. Жил в Оренбурге. С декабря 1963 года возглавлял первую в СССР школу юных космонавтов при Оренбургском высшем военном авиационном Краснознамённом училище лётчиков. Умер 18 апреля 1979 года.

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946), Красного Знамени (01.11.1943, 03.12.1943, 10.05.1945), Александра Невского (02.02.1944), Отечественной войны 1-й степени (06.05.1943), Красной Звезды (30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (13.06.1952).