Родился 7 февраля 1920 года в городе Баку (ныне столица Азербайджанской Республики). В 1938 году окончил 10 классов школы, в октябре 1939 года - 1 курс Бакинского индустриального института и Бакинский аэроклуб. С 4 ноября 1939 года в рядах Военно-Морского Флота. По комсомольской путёвке был направлен в Ейское военно-морское авиационное училище лётчиков, которое окончил в августе 1941 года. Проходил службу в ВВС Черноморского флота в должности пилота 3-го ЗАП (город Джанкой), с сентября 1941 года - пилот 8-го ИАП.

С января 1942 года сержант П. Д. Климов - в составе ВВС Северного Флота. Участвовал в обороне Заполярья. Воевал пилотом в 78-м ИАП, летал на "Харрикейне". С марта 1942 года - пилот 2-го Гвардейского ИАП ВВС СФ, с сентября 1942 года - командир звена 2-й эскадрильи. Летал на "Харрикейне", "Киттихауке" и "Аэрокобре". В ночь на 15 декабря 1942 года, первым в условиях Севера, ночью сбил вражеский бомбардировщик. В 1942 году в одном из воздушных боёв был легко ранен.

К маю 1943 года командир звена 2-го Гвардейского истребительного авиационного полка (6-я истребительная авиационная бригада, ВВС Северного флота) Гвардии младший лейтенант П. Д. Климов совершил 306 боевых вылетов (из них 13 ночью), провёл 33 воздушных боя, сбил лично 7 самолётов противника (ещё 1 предположительно). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 июля 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 870).

В декабре 1943 года был направлен на Высшие офицерские курсы. В июле 1944 года вернулся в свой полк на должность заместителя командира 3-й эскадрильи. Участвовал в Петсамо-Киркенесской операции. С января 1945 года Гвардии капитан П. Д. Климов командовал эскадрильей.

К концу войны совершил около 350 боевых вылетов, провёл более 40 воздушных боёв, в которых сбил лично 10 самолётов противника (ещё 1 личная победа записана предположительно).

После Победы, по ноябрь 1946 года, продолжал службу в своём полку. С декабря 1946 года учился в Военно-Воздушной академии. С мая 1951 года - командир 172-го ИАП. С ноября 1954 года - командир 458-го ИАП. С ноября 1955 года - заместитель командира по лётной подготовке 90-й ИАД КБФ. В январе 1957 года, в составе дивизии, переведён в ПВО Страны, занимал должность заместителя командира дивизии (по август 1957 года - 90-й ИАД, по декабрь 1957 года - 17-й ИАД). С декабря 1957 года по сентябрь 1959 года учился в Военной академии Генерального штаба. С октября по ноябрь 1959 года - заместитель командира 155-й ИАД, по июнь 1960 года - Днепропетровской ИАД, по декабрь 1961 года - заместитель начальника УКЦ истребительной авиации по практическому обучению в войсках. С января 1962 года по август 1963 года - старший инспектор и лётчик-штурман боевой подготовки авиации ВМФ. Затем - старший инспектор-лётчик ВВС Главной инспекции Министерства обороны СССР.

С 24 октября 1970 года Гвардии полковник П. Д. Климов - в запасе. Жил в Москве. В 1970-1976 гг. работал начальником сектора и ведущим инженером в Научно-техническом комплексе Государственного комитета СССР по науке и технике, в 1976-1979 гг. - начальником хозяйственного отдела и старшим инженером в Государственном комитете СССР по гидрометеорологии и контролю окружающей среды. В 1979-1985 гг. работал заведующим группой отдела научно-технической пропаганды и старшим инженером во Всесоюзном НИИ организации, управления и экономики нефтегазовой промышленности. Умер 8 декабря 1992 года, похоронен на Кунцевском кладбище. Бюст П. Д. Климова установлен на Аллее героев-авиаторов Северного в посёлке Сафоново (в черте города Североморск, Мурманская область).

Награждён орденами: Ленина (24.03.1943), Красного Знамени (25.09.1942, 04.02.1943, 29.04.1957), Отечественной войны 1-й степени (01.06.1945, 11.03.1985), Красной Звезды (05.11.1954, 22.02.1955); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951);крестом "За лётные боевые заслуги" (Великобритания, 1942).

Список известных воздушных побед П. Д. Климова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
10.05.1942	1  Ме-109	мыс Пикшуев	"Харрикейн"
01.07.1942	1  Ме-109	западнее Титовка	"Киттихаук"
18.07.1942	1  Ю-88	Роста
31.10.1942	2  Ю-88	Мурманск
15.12.1942	1  Ю-88  (ночью)	Зимняя Мотовка *
23.03.1943	1  Ме-109  (предположительно)	Мурманск	"Аэрокобра"
13.04.1943	1  ФВ-190	западнее Мурманск *
29.04.1943	1  Ю-88	севернее Сеть-Наволок
23.05.1943	1  Ме-109	западнее губа Эйна
	1  Ю-88	Озерко
Всего сбитых самолётов - 10 + 0  (и 1 + 0 предположительно);  боевых вылетов - около 350;  воздушных боёв - более 40.

* Победа включена в список только на основании наградного материала, в оперативных и отчётных документах не упоминается.

Из фотоматериалов разных лет:

Из материалов прессы военных лет: