Родился 23 ноября 1918 года в деревне Вецкое (Кубено-Озёрский район Вологодской области). В 1940 году окончил 9 классов школы. Работал кузнецом. С 4 апреля 1940 года в рядах Красной Армии. В феврале 1943 году окончил Батайскую авиационную школу пилотов. Служил пилотом резерва в 25-м ЗИАП (ВВС Закавказского фронта).

С 12 сентября 1943 года младший лейтенант Н. Н. Климов в действующей армии. Воевал составе 104-го Гвардейского ИАП. Летал на "Аэрокобре". Прошёл путь от рядового лётчика до командира звена. Сражался на 4-м Украинском, 2-м Украинском и 1-м Украинских фронтах.

5 марта 1945 года командир звена 104-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 6-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант Н. Н. Климов погиб в районе Бунцлау (в лобовой атаке таранил вражеский истребитель Ме-109). Всего совершил 121 боевой вылет, в 22 воздушных боях сбил лично 6 самолётов противника. Похоронен в городе Волув (Польша).

Награждён орденами: Красного Знамени (17.07.1944), Отечественной войны 1-й степени (24.03.1945, посмертно).