Родился в 1920 году в слободе Замостье города Суджа (Суджанский район Курской области). С 25 августа 1937 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Чугуевское военное авиационное училище лётчиков. Служил в частях ВВС Прибалтийского военного округа.

С 22 июня 1941 года лейтенант В. И. Клименко в действущей армии. По ноябрь 1941 года воевал на Западном фронте в составе 10-го ИАП (7-я САД, ВВС 24-й Армии), летал на И-16 и МиГ-3. С 12 марта 1942 года - командир звена в 1-м Гвардейском ИАП (7-я Гвардейская ИАД). Воевал на Калининском, Воронежском, Западном и Брянском фронтах. Летал на "Харрикейне", Як-1 и Як-7.

К 20 августа 1943 года заместитель командира эскадрильи 1-го Гвардейского истребительного авиационного полка (7-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 2-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Брянский фронт) Гвардии старший лейтенант В. И. Клименко совершил 335 боевых вылетов, провёл 42 воздушных боя, в которых сбил лично 12 самолётов противника (в лётной книжке указывается на 13 личных и 6 групповых побед, но это не подтверждается штабными документами). Участвовал в битвах за Ельню, Москву, Воронеж, в прорыве блокады Ленинграда, Сталинградской битве, Орловско-Курской операции. Трижды был ранен.

В сентябре 1943 года направлен командиром эскадрильи в Высшую офицерскую школу воздушного боя ВВС КА (в Люберцах), а в 1944 году зачислен слушателем командно-штурманского отделения Военно-Воздушной академии (в Монино). Участник воздушного парада над Москвой в День авиации в 1944 году и Парада Победы 24 июня 1945 года на Красной площади.

В 1946 году необоснованно репрессирован по обвинению в антисоветской агитации. В 1955 году полностью реабилитирован. С 27 февраля 1956 года - в запасе. Жил и работал в Москве (муниципальный округ Измайлово). Умер в 2014 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (04.09.1942, 08.08.1943), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985); медалями.

Список известных воздушных побед В. И. Клименко:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
02.08.1942	1  Ю-88	Ржев	Як-1
05.08.1942	1  Ю-88
06.08.1942	1  Ю-88
23.01.1943	1  ФВ-190	севернее Синявино	Як-7
11.02.1943	1  Хш-126	Пельгора
19.02.1943	1  ФВ-190	севернее Погостье
05.07.1943	2  ФВ-190	станция Куява
19.07.1943	1  ФВ-190	Городок
27.07.1943	1  Ю-88	Красниково
31.07.1943	1  Ю-87	Дудоровка
02.08.1943	1  ФВ-190	Умрихино
Всего сбитых самолётов - 12 + 0;  боевых вылетов - 335;  воздушных боёв - 42.

Из фотоматериалов разных лет:

Дополнительная информация о В. И. Клименко на сайте "Я помню..."