Родился в 1923 году в городе Суджа (Суджанский район Курской области). С 1940 года в рядах Красной Армии, призван Суджанский РВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 14 августа 1942 года сержант А. Ф. Клименко в действующей армии. Воевал в составе 49-го ИАП (234-я ИАД, 204-я БАД, 309-я ИАД). 29 августа 1942 года был ранен при выполнении боевого задания, лечился в госпитале. 20 октября 1942 года вернулся в часть и продолжил боевую работу. Прошёл путь от рядового пилота до заместителя командира эскадрильи. Сражался на Западном, 3-м Белорусском и 2-м Белорусском фронтах. Летал на Ла-5 и Як-3.

К 9 мая 1945 года заместитель командира эскадрильи, он же штурман эскадрильи 49-го истребительного авиационного полка (309-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) старший лейтенант А. Ф. Клименко совершил более 250 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 12 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. Умер 7 сентября 1950 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (26.10.1943, 20.09.1944, 31.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (06.07.1944), Отечественной войны 2-й степени (23.07.1943); медалями, в том числе "За отвагу" (24.01.1943).