Родился 18 августа 1923 года в селе Собчаково (ныне Сапожковский район Рязанской области). В 1938 году окончил 8 классов школы в селе Морозовы Борки (Сапожковский район). В сентябре 1938 - декабре 1940 гг. обучался в Московском мукомольно-элеваторном техникуме. В 1940 году окончил Бауманский аэроклуб города Москвы. С декабря 1940 года в рядах Красной Армии, призван Бауманским РВК. В сентябре 1941 года окончил Тбилисскую военную авиационную школу пилотов. С октября 1941 по июль 1942 гг. - лётчик 1-го ЗАП (город Чебоксары, с апреля 1942 года - город Арзамас), где проходил переучивание на новую технику.

С августа 1942 года сержант И. К. Климанов в действующей армии: в должности пилота 272-го ИАП (203-я ИАД), летал на ЛаГГ-3 и Ла-5. 28 декабря 1943 года был направлен заместителем командира эскадрильи в 49-й ИАП (309-я ИАД), где летал на Ла-5 и Як-3. Сражался на Западным, 1-м Белорусском и 2-м Белорусском фронтах.

К 15 октября 1944 года командир эскадрильи 49-го Краснознамённого истребительного авиационного полка (309-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) капитан И. К. Климанов совершил 272 боевых вылета, провёл 60 воздушных боёв, лично сбил 16 и в составе группы 6 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 5401).

К 9 мая 1945 года капитан И. К. Климанов совершил 284 боевых вылета, провёл 63 воздушных боя, в которых сбил лично 17 и в составе группы 6 самолётов противника. Участвовал в Ржевско-Сычёвской, Орловской, Спас-Деменской, Ельнинско-Дорогобужской, Смоленско-Рославльской, Оршанской, Витебской, Могилёвской, Минской, Белостокской, Ломжа-Ружанской и Берлинской операциях.

После войны продолжал служить в ВВС. Был командиром эскадрильи 49-го ИАП, летал на Як-3 и Р-63 "Кингкобра". С мая 1949 года - командир эскадрильи 962-го ИАП ПВО, летал на Як-9 и МиГ-15. С феврале 1952 года - старший офицер по наведению командного пункта 28-й ИАД ПВО. С 9 марта 1953 года капитан И. К. Климанов - в запасе. Жил в Москве, работал в системе Государственного банка СССР. Умер 13 июня 1993 года, похоронен на Миусском кладбище. Его имя высечено на мраморной плите с именами других Героев Советского Союза, установленной в центральном сквере города Сапожок.

Награждён орденами: Ленина (23.02.1945), Красного Знамени (06.09.1943, 20.10.1943, 03.02.1944), Александра Невского (24.10.1944), Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды (21.12.1942); медалями.