Родился 26 декабря 1918 года в селе Курячовка (ныне Марковский район Луганской области Украины). В 1932 году окончил 6 классов школы в родном селе, в 1933 году - 1 курс Луганского педагогического техникума. В 1933-1934 гг. работал слесарем на Луганском паровозостроительном заводе, в 1934-1935 гг. - арматурщиком на Новочеркасском паровозостроительном заводе. С октября по декабрь 1935 года обучался в Ростовском физкультурном техникуме. В 1935-1936 гг. работал арматурщиком на Ростовском рыбзаводе. В 1936 году окончил Ростовский аэроклуб. С 5 апреля 1937 года в рядах Красной Армии. В ноябре 1937 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов. Служил в строевых частях ВВС Белорусского и Забайкальского военных округов.

Участник Советско-Японского конфликта на реке Халхин-Гол с июля по август 1939 года в должности командира звена 56-го ИАП (ВВС 1-й Армейской группы), летал на И-16. Совершил 70 боевых вылетов, провёл 12 воздушных боёв, лично сбил 1 самолёт противника (12 августа 1939 года столкнулся с истребителем противника, оба самолёта разрушились). Получил переломы левой ноги и правой руки, травму головы, больше не летал.

После лечения в госпитале продолжал службу в ВВС: командиром звена и помощником командира эскадрильи в 116-м ИАП (Среднеазиатский военный округ). В июне 1941 года окончил Курсы усовершенствования командного состава ВВС (в городе Липецке) и был назначен заместителем командира эскадрильи в 199-й ИАП (Ленинградский военный округ).

С 22 июня 1941 года капитан И. И. Клещёв в действующей армии. Боевую деятельность начал в составе 199-го ИАП (Северный фронт и ПВО Ярославля), летал на И-153 и МиГ-3. С октября 1941 года - командир эскадрильи 521-го ИАП (Калининский фронт), летал на ЛаГГ-3 и Як-1.

К 12 февраля 1942 года командир эскадрильи 521-го истребительного авиационного полка (31-я смешанная авиационная дивизия, ВВС Калининского фронта) майор И. И. Клещёв совершил 220 боевых вылетов, в 30 воздушных боях сбил лично 3 и в составе группы не менее 5 самолётов противника (в наградном листе говорится о 6 личных и 13 групповой победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 5 мая 1942 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 569).

С апреля 1942 года - командир 434-го ИАП (Юго-Западный и Сталинградский фронты), летал на Як-1 и Як-7. 19 сентября 1942 года сбит в воздушном бою, покинул горящий самолёт с парашютом. Получил тяжёлые ожоги и до начала ноября 1942 года находился на излечении в московском госпитале.

С ноября 1942 года - лётчик-инспектор Отдела истребительной авиации Инспекции ВВС Красной Армии, на боевые задания не летал. С 22 ноября 1942 года - заместитель командира 269-й ИАД (Резерв Верховного Главнокомандования), летал на Як-9.

31 декабря 1942 года разбился в авиационной катастрофе на аэродроме Рассказово при перелёте из Саратова в Москву. Похоронен в городе Рассказово. К тому времени совершил 510 боевых вылетов, провёл около 50 воздушных боёв, в которых сбил лично 13 и в составе группы не менее 10 самолётов противника (вероятно, имел и больше групповых побед). Его именем названы улицы в городах Новочеркасск (Ростовская область) и Рассказово (Тамбовская область). Реплика самолёта Як-9, на котором летал И. И. Клещёв, находится в Музее техники Вадима Задорожного.

Награждён орденами: Ленина (05.05.1942), Красного Знамени (17.11.1939, 18.12.1941), Отечественной войны 2-й степени (17.10.1942).

Список известных воздушных побед И. И. Клещёва:

Советско-Японский конфликт на реке Халхин-Гол, 1939 г.

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
12.08.1939	1  И-97  (при столкновении)	район "Двина"	И-16
Всего сбитых самолётов - 1 + 0;  боевых вылетов - 70;  воздушных боёв - 12.

Великая Отечественная война, 1941-1945 гг.

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
09.10.1941	1  Ю-88	станция Мещерская	ЛаГГ-3
10.10.1941	1  Ю-88  (в группе 1/5)	Калининский фронт
	1  Ме-109  (в группе 1/5)
14.12.1941	1  Ме-109	аэродром Ватулино
13.01.1942	2  "Хе-113"  (в группе 2/5)	северо-западнее Медынь
10.02.1942	1  Ю-88	севернее Мончалово
11.02.1942	1  ФВ-189  (в группе 1/3)	южная окраина Жуково
13.02.1942	3  Ю-87  (в группе 3/5)	Калининский фронт
13.06.1942	1  Ме-109	Шиповатое	Як-1
	1  Ме-109  (в группе 1/14)
27.06.1942	1  Ю-88	Червона Зирка - Кутьковка
18.07.1942	1  R-5  (в паре)	аэродром Гумрак *
26.07.1942	1  Ме-109	Калач
29.07.1942	2  Ю-87	Камыши
14.09.1942	1  ФВ-189	Сталинград	Як-7
16.09.1942	1  Ме-109
	1  Ю-87
19.09.1942	1  Ме-109	станция Котлубань
	1  ФВ-189
Всего сбитых самолётов - 13 + 10;  боевых вылетов - 510;  воздушных боёв - около 50.

* "Перехват самолёта R-5 в районе аэродрома. Самолёт R-5 майор И. И. Клещёв и старший сержант С. В. Паушев посадили на аэродром"
(запись в Журнале боевых действий 434-го истребительного авиационного полка за 18 июля 1942 года)

Из фотоматериалов военных лет:

Из материалов прессы военных лет:

Из фотоматериалов послевоенных лет: