Родился 20 февраля 1918 года в деревне Утенино (ныне Талдомский район Московской области). Окончил 7 классов школы и 1-й курс Московского полиграфического техникума. Работал наборщиком в типографии. С 3 января 1939 года в рядах Красной Армии, призван Свердловским РВК (города Москвы). В марте 1940 года окончил Борисоглебское военное авиационное училище лётчиков. Служил в 15-м ШАП (ВВС Забайкальского Военного округа), с мая 1941 года - в 235-м ШАП (ВВС Лениградского военного округа).

С 22 июня 1941 года младший лейтенант А. И. Кисляков в действующей армии. Воевал в составе 153-го ИАП (22 ноября 1942 года преобразован в 28-й Гвардейский ИАП), где прошёл путь от рядового пилота до помощника командира полка. Летал на И-153 и "Аэрокобре". Сражался на Ленинградском, Воронежском, Северо-Западном, Калининском, 2-м Прибалтийском, 1-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах. Свою первую победу одержал 4 августа 1941 года. 2 августа 1942 года был легко ранен.

К 1 декабря 1944 года помощник командира по воздушно-стрелковой службе 28-го Гвардейского истребительного авиационного полка (5-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 3-я Воздушная армия, 1-й Прибалтийский фронт) Гвардии капитан А. В. Кисляков совершил 532 боевых вылета, в воздушных боях сбил лично 14 и в составе группы 2 самолёта противника (в наградном листе говорится о 15 личных и 4 групповых победах), а также уничтожил 1 аэростат-корректировщик. За эти подвиги был представлен к высшей награде страны.

К 9 мая 1945 года помощник командира 28-го Гвардейского ИАП (5-я Гвардейская ИАД, 3-й Белорусский фронт) Гвардии майор А. В. Кисляков совершил 539 боевых вылета и провёл 63 воздушных боя (число побед не изменилось). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 августа 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7945).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. В 1952 году окончил Военно-Воздушную академию. С 16 декабря 1968 года Гвардии полковник А. В. Кисляков - в запасе. Жил в Москве. Работал ведущим конструктором завода. Умер 28 июля 1998 года, похоронен на Троекуровском кладбище.

Награждён орденами: Ленина (20.12.1941, 18.08.1945), Красного Знамени (03.05.1942, 11.10.1943, 07.10.1944), Александра Невского (15.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (22.02.1943, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (20.01.1943), Красной Звезды (30.04.1954, 09.03.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).