Родился в 1923 году в селе Кунаково (ныне Луховицкий район Московской области). Окончил среднюю школу. Проживал с матерью на железнодорожной станции Щурово (возле города Коломна, Московской области). С августа 1940 года в рядах Красной Армии, призван Коломенским РВК. Окончил Батайскую военную авиационную школу лётчиков.

С 27 марта 1943 года сержант Б. М. Киселёв в действующей армии. Воевал в 270-м ИАП (5 февраля 1944 года преобразован в 152-й Гвардейский ИАП), где прошёл путь от рядового пилота 3-й эскадрильи до командира звена. Боевую работу начал с 28 мая 1943 года на Воронежском фронте (в составе 203-й ИАД, 2-й Воздушной армии), летая на Як-1Б. 8 июня 1943 года ему было присвоено воинское звание "младший лейтенант".

С 23 июля 1943 года воевал на Степном фронте (в составе 5-й Воздушной армии). 24 августа 1943 года назначен старшим лётчиком. С 20 октября 1943 года воевал на 2-м Украинском фронте. 8 декабря 1943 года назначен командиром звена. С 20 января 1944 года боевой работы не вёл: полк находился в городе Саратове, где получал новые самолёты с завода № 292. 6 марта 1944 года присвоено воинское звание "Гвардии лейтенант". С 13 апреля 1944 года возобновил боевую работу, продолжая летать на Як-1Б.

30 мая 1944 года командир звена 3-й эскадрильи 152-го Гвардейского истребительного авиационного полка (12-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус РСВГК, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант Б. М. Киселёв при сопровождении группы штурмовиков Ил-2 в районе населённого пункта Ларга (северо-западнее 20 км города Яссы, Румыния) был сбит в воздушном бою, получил тяжёлые ранения в правый бок и руку, покинул горящий самолёт на парашюте, но раскрыть его не смог и погиб. Всего совершил 160 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 7 самолётов противника.

Награждён орденами: Отечественной войны 1-й степени (31.10.1943, 06.08.1944), Красной Звезды (19.07.1943).