Родился 2 мая 1918 года в деревне Коширино (ныне Вязниковского района Владимирской области). Окончил среднюю школу. С 3 мая 1940 года в рядах Красной Армии. Окончил военную авиационную школу лётчиков. С началом Великой Отечественной войны служил в 17-м ЗИАП Уральского военного округа (город Молотов, ныне Пермь). В мае 1942 года был направлен в 196-й ИАП, который на аэродроме Летняя проходил переучивание на американские истребители "Киттихаук".

С 5 июня 1942 года младший лейтенант Б. А. Карамышев в действующей армии: в должности старшего лётчика 195-го ИАП. Воевал на Карельском фронте (в составе ВВС 32-й Армии), летал на "Киттихауке". Со 2 по 8 августа 1942 года полк действовал в составе ВВС 26-й Армии, затем снова вернулся в состав ВВС 32-й Армии. 20 декабря 1942 года вошёл в состав 259-й ИАД (7-й Воздушной армии, Карельского фронта), 25 марта 1943 года передан в состав 324-й ИАД (7-й Воздушной армии).

С 10 мая 1943 года боевой работы не вёл: полк проходил переформирование на аэродроме Мончегорск и перевооружался на новую технику (истребители Як-7Б, Як-9 и ЛаГГ-3). С 3 сентября 1943 года возобновил боевую работу на Карельском фронте (в составе 324-й ИАД), летая на Як-7Б. 17 декабря 1943 года был подбит в воздушном бою (повреждён двигатель), получил лёгкое ранение и совершил вынужденную посадку.

С февраля 1944 года боевой работы снова не вёл: полк проходил очередное переформирование и доукомплектование самолётами. В этот период лейтенант Б. А. Карамышев был назначен командиром звена. Вскоре продолжил боевую работу, летая уже на Як-9.

К ноябрю 1944 года командир звена 195-го истребительного авиационного полка (324-я истребительная авиационная дивизия, 7-я Воздушная армия, Карельский фронт) лейтенант Б. А. Карамышев совершил около 100 боевых вылетов, провёл около 20 воздушных боёв, сбил лично 6 и в составе пары 2 самолёта противника.

14 ноября 1944 года полк был исключён из действующей армии и боевой работы больше не вёл. В январе 1945 года вошёл в состав ВВС Московского военного округа.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 19 августа 1946 года капитан Б. А. Карамышев - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (04.04.1944), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (07.07.1944, 01.09.1953); медалями.