Родился 28 августа 1914 года в селе Дейское (ныне Терский район Кабардино-Балкарской Республики). В 1933 году окончил 3 курса железнодорожного техникума в городе Орджоникидзе (с 1990 года - город Владикавказ, столица Северной Осетии), в 1937 году - Батайскую школу Гражданского Воздушного Флота, в 1938 году - школу усовершенствования лётного состава Осоавиахима при Центральном аэроклубе имени В. П. Чкалова в Москве. В 1938-1942 гг. работал начальником лётной части и начальником аэроклуба в городе Йошкар-Ола (Марийская АССР). С 1942 года в рядах Красной Армии, в том же году окончил курсы командиров звеньев.

С декабря 1942 года лейтенант Канкошев Ахмет-хан Талович в лействующей армии. Воевал в составе 8-го ИАП (8 февраля 1943 года преобразован в 42-й Гвардейский ИАП), летал на Як-1. Принимал участие в боях на Кубани и битве за Кавказ.

К началу июня 1943 года командир звена 42-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, Северо-Кавказский фронт) Гвардии лейтенант Канкошев Ахмет-хан Талович совершил 108 боевых вылетов, провёл 45 воздушных боёв и сбил лично 10 самолётов противника (в наградном листе говорится о 8 личных и 3 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1151).

28 декабря 1943 года Гвардии старший лейтенант Канкошев Ахмет-хан Талович не вернулся с очередного боевого задания (пропал без вести в бою в районе Керчи). К тому времени совершил около 180 боевых вылета и сбил лично 14 самолётов противника.

В столице Кабардино-Балкарской Республики - Нальчике на улице имени Героя, а также в городах Терек и Йошкар-Ола установлены мемориальные доски. Имя Героя носят улица и средняя школа в его родном селе Дейское, улицы в городах Терек, Баксан, Нарткала, посёлке городского типа Кенже, школа № 17 в Нальчике, комбинат бытового обслуживания в Баксане, детская библиотека в Тереке.

Награждён орденами: Ленина (02.09.1943), Красного Знамени (17.06.1943).