Родился 4 декабря 1918 года в деревне Нащекино (Бронницкий район Московской области). С 16 октября 1938 года в рядах Красной Армии, призван Таганским РВК (города Москвы). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС. Участник похода советских войск в Польшу (с 17 сентября 1939 года). В мае-июне 1943 года проходил переучивание на новую технику во 2-м ЗИАП (ВВС Московского военного округа).

С 17 июля 1943 года младший лейтенант А. В. Калмыков в действующей армии. Воевал в составе 13-го ИАП (24 августа 1943 года преобразован в 111-й Гвардейский ИАП). Прошёл путь от рядового пилота до заместителя командира эскадрильи. Сражался на Воронежском, 1-м Украинском и 4-м Украинском фронтах. Летал на Ла-5 и Ла-7. Имел лёгкое ранение.

К 9 мая 1945 года заместитель командира эскадрильи 111-го Гвардейского истребительного авиационного полка (10-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, 8-я Воздушная армия, 4-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант А. В. Калмыков совершил 174 боевых вылета, в 35 воздушных боях сбил лично 9 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 24 сентября 1960 года Гвардии полковник А. В. Калмыков - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (07.02.1944, 12.05.1944, 30.05.1945, 04.06.1955), Красной Звезды (31.08.1943, 30.04.1954); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).