Родился 28 мая 1922 года на хуторе Латышевский (ныне Боковский район Ростовской области). Окончил 8 классов Каргинской средней школы. В 1939 году перебрался в город Шахты (Ростовская область), где закончил 10 классов вечерней школы и поступил в кулинарное училище. Работал разнорабочим на шахте, одновременно учился в Шахтинском аэроклубе. В апреле 1941 года призван на воинскую службу и направлен в Краснодарскую школу пилотов. В мае 1942 года был направлен в 22-й ЗИАП (город Иваново).

С 10 октября 1943 года старший сержант Д. А. Калинин в действующей армии: в должности лётчика 508-го ИАП (27 октября 1944 года преобразован в 213-й Гвардейский ИАП), летал на "Аэрокобре". Сражался на 2-м Украинском и 1-м Украинском фронтах. 7 мая 1945 года был легко ранен осколками в ноги (снаряд разорвался под сиденьем).

К 8 мая 1945 года командир звена 3-й эскадрильи 213-го Гвардейского истребительного авиационного полка (22-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 6-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант Д. А. Калинин совершил 147 боевых вылетов, в 42 воздушных боях сбил лично 13 и в составе пары 1 самолёт противника. Трижды был сбит и сам: раз в воздушном бою - сел вне аэродрома, два раза с земли - тянул на свою территорию, пока работал двигатель, и садился прямо на передовой.

После окончания войны продолжал служить в частях ВВС. В 1947 году окончил Курсы усовершенствования командного состава, служил в 81-м Гвардейском ИАП. С осени 1948 года - заместитель командира эскадрильи 19-го ИАП ПВО. С января 1951 года - на той же должности в ОРАП (Австрия). С ноября 1955 года - командир эскадрильи в другом полку (под Вольском). 15 января 1960 года помощник командира авиационного полка Гвардии подполковник Д. А. Калинин был уволен запас, работал на гражданских предприятиях. С сентября 1968 года летал на Ан-2 в санитарной авиации. В 1980 году по состоянию здоровья был списан с лётной работы и перешёл в службу движения на должность диспетчера аэропорта. С 1986 года - на пенсии.

Награждён орденами: Красного Знамени (20.02.1944, 18.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (17.07.1944), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).