Родился 29 января 1917 года в деревне Коростово (Красногорский район Московской области). Родители умерли в годы Гражданской войны, Виктора усыновила и воспитала родная тётя. В 1931 году окончил 7 классов средней школы в Москве, в 1932 году - школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Трудился слесарем и электриком на московских заводах "Мосэлектрик и "Сплинкер". Одновременно окончил вечернюю среднюю школу и аэроклуб. С 26 октября 1938 года в рядах Красной Армии, призван Сталинским РВК (города Москвы). Служил радистом в авиационном полку (город Борзя, Читинская область). В одном из наградных личтов указано, что принимал участие в боевых действиях на территории МНР с 18 по 30 августа 1939 года. По собственному желанию был направлен в Черниговскую военную авиационную школу пилотов, которую успешно окончил в 1941 году. Служил в 168-м Резервном АП ВВС Дальневосточного фронта (станция Завитая Амурской области). В конце 1941 года был направлен на переподготовку в Саратовскую авиационную школу, где освоил истребитель Як-7.

С 7 апреля 1943 года старший сержант В. В. Калашников в действующей армии. Воевал в составе 291-го ИАП (265-я ИАД). Летал на Як-7, Як-1 и Як-9. Участвовал в воздушной битве над Кубанью весной 1943 года, где был сбит. В дальнейшем сражался на Северо-Кавказском, Южном, 4-м Украинском, 3-м Белорусском и 1-м Белорусском фронтах.

К 9 мая 1945 года старший лётчик 291-го истребительного авиационного полка (265-я истребительная авиационная дивизия, 3-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) капитан В. В. Калашников совершил около 220 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 17 самолётов противника. В 1945 году, будучи уже командиром эскадрильи, представлялся к званию Героя Советского Союза, но тогда не получил его.

После окончания войны продолжал службу в ВВС, освоил реактивный МиГ-15. С 6 ноября 1953 года подполковник В. В. Калашников - в запасе. Жил в Москве. Указом Президента Российской Федерации от 12 мая 1997 года удостоен звания Героя Российской Федерации. В 2000 году присвоено воинское звание "полковник запаса". Умер 30 августа 2010 года. Похоронен на Бутовском кладбище в Москве.

Награждён орденами: Красного Знамени (11.05.1944, 14.07.1944, 04.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (20.12.1943, 11.03.1985), Трудового Красного Знамени, Красной Звезды (13.07.1943); медалями, в том числе "За отвагу" (01.05.1943) и "За боевые заслуги" (20.06.1949).