Родился в 1922 году в деревне Пудицкая Слобода (Ананичский сельский совет Пуховичского района Минской области Республики Беларусь). После окончания 8 классов и школы фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) поступил на работу в Дом печати в городе Минске, окончил аэроклуб. С июня 1940 года в рядах Красной Армии, призван Пуховичским РВК. В 1941 году окончил Батайскую военную авиационную школу лётчиков и был оставлен в резерве лётно-технического состава.

С августа 1942 года сержант А. Р. Ивашко в действующей армии: в должности пилота 15-го ИАП (287-я ИАД, ВВС Сталинградского фронта), летал на ЛаГГ-3 и Ла-5. С декабря 1942 года воевал в составе 293-го ИАП (287-я ИАД; ВВС Южного и Северо-Кавказского фронтов), где летал на Як-1. 23 апреля 1943 года в районе Новороссийска был сбит над морем, получил пулевое ранение руки и ожёг лица 1-й степени. Был спасён экипажем торпедного катера, лечился в госпитале. С июля 1943 года воевал уже в составе 16-го Гвардейского ИАП (9-я ГИАД), летал на "Аэрокобре". Сражался на Северо-Кавказском, Южном, Юго-Западном, 4-м Украинском, 2-м Украинском и 1-м Украинском фронтах.

16 июля 1944 года заместитель командира эскадрильи 16-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 7-й истребительный авиационный корпус, 8-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант А. Р. Ивашко был тяжело ранен в голову и плечо в воздушном бою (в районе села Михалувка). Покинул самолёт с парашютом, умер по дороге в госпиталь. Похоронен в братской могиле села Пяски (близ города Берестечко, Волынская область). В 1951 году перезахоронен в братскую могилу на Центральной площади города Берестечко. Всего совершил более 100 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 5 самолётов противника. Именем лётчика названа улица в городе Марьина Горка.

Награждён орденами: Красного Знамени (06.11.1943), Красной Звезды (05.01.1943); медалью "За оборону Кавказа" (05.05.1945).