Родился 18 августа 1908 года в городе Царицыне (ныне Волгоград). С 1 мая 1931 года в рядах Красной Армии, призван Сталинградским ГВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в различных частях ВВС.

С 15 июля 1941 года капитан А. Б. Исаев в действующей армии. С сентября 1941 года по март 1942 года сражался в должности заместителя командира 183-го ИАП (65-я АД, ВВС Южного фронта), летал на МиГ-3. С 11 мая 1942 года командовал 237-м ИАП (220-я ИАД), где летал на Як-1. Сражался на Северо-Кавказском, Донском, Сталинградском, 3-м Украинском фронтах. Отличился в боях за Сталинград.

10 сентября 1942 года командир 237-го истребительного авиационного полка (220-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, Сталинградский фронт) майор А. Б. Исаев тяжело ранен в воздушном бою, отправлен в госпиталь, после излечения списан с лётной работы и в боях больше не участвовал.

С января 1945 года служил в должности заместителя командира 288-й истребительной авиационной дивизии (17-я Воздушная армия). Всего выполнил выполнил 90 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 10 и в составе группы 2 самолёта противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 8 февраля 1955 года полковник А. Б. Исаев - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (23.02.1942, 23.10.1942, 17.05.1951), Отечественной войны 1-й степени (09.07.1945, 11.03.1985), Красной Звезды (05.11.1946); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).