Родился 15 мая 1921 года в селе Андреевское (Большесельский район Ярославской области). В 1937 году окончил 7 классов средней школы. 5 марта 1941 года был призван в ряды Красной Армии и направлен в Херсонскую военную авиационную школу пилотов. С 22 августа 1941 года обучался в Борисоглебской военной авиационной школе пилотов. С апреля 1943 года проходил переучивание на новую технику в 4-м ЗИАП ВВС Приволжского военного округа (город Моршанск, Тамбовская область). 7 мая 1943 года назначен пилотом 19-го КИАП, который находился на доукомплектовании в 4-м ЗИАП.

С 16 июля 1943 года младший лейтенант А. Ф. Игнатьев в действующей армии: в должности лётчика 63-го Гвардейского ИАП (3-я Гвардейская ИАД). 5 августа 1943 года в воздушном бою получил лёгкое осколочное ранение. С 4 апреля 1944 года - старший лётчик, с 10 октября 1944 года - командир звена. Сражался на Брянском, 1-м Прибалтийском, 3-м Белорусском, 2-м Прибалтийском и 1-м Белорусском фронтах. Летал на Ла-5 и Ла-7.

22 декабря 1944 года командир звена 63-го Гвардейского истребительного авиационного полка (3-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии старший лейтенант А. Ф. Игнатьев был сбит в воздушном бою над территорией Литвы и погиб при вынужденном прыжке с парашютом. Всего совершил более 120 боевых вылетов, провёл около 30 воздушных боёв и сбил лично 10 самолётов противника.

Награждён орденами: Красного Знамени (21.01.1944, 10.09.1944, 26.11.1944), Отечественной войны 1-й степени (21.07.1944).