Родился 21 марта 1920 года в деревне Пизипово (Аликовский район Республики Чувашия). Окончил среднюю школу и Чебоксарский аэроклуб. С 17 сентября 1940 года в рядах Красной Армии, призван Аликовским РВК. В 1943 году окончил Сталинградское военное авиационное училище лётчиков.

31 августа 1943 года младший лейтенант А. П. Громов был направлен для прохождения службы в 133-й ИАП, который в составе 234-й ИАД находился в резерве СВГК в Московском военном округе (аэродром Дягилева Рязанской области), боевой работы не вёл и перевооружался на истребители Як-9Т. С 1 октября 1943 года в действующей армии. Прошёл путь от рядового пилота до заместителя командира эскадрильи. Сражался на Центральном, Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. Летал на Як-9 и Як-3.

К 9 мая 1945 года заместитель командира эскадрильи 133-го истребительного авиационного полка (234-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) старший лейтенант А. П. Громов совершил 135 боевых вылетов, в 29 воздушных боях сбил лично 13 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 21 декабря 1945 года Гвардии капитан А. П. Громов - в запасе. Жил в городе Чебоксары, работал в различных общественных организациях. Умер в 1982 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (16.06.1945), Отечественной войны 2-й степени (18.02.1944), Красной Звезды (29.08.1944); медалями.