Родился 28 марта 1918 года в деревне Савкино (ныне Ясногорский район Тульской области). Отец погиб в Гражданскую войну и семья переехала в Москву. Окончил 7 классов. Работал слесарем в железнодорожных мастерских, затем на электрозаводе имени Куйбышева, без отрыва от производства занимался в аэроклубе. 9 января 1939 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Железнодорожным РВК (город Москва). В 1941 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов. Служил в частях ВВС Одесского военного округа.

С 22 июня 1941 года старшина А. Н. Гришин на фронтах Великой Отечественной войны в должности командира звена 168-го ИАП (45-я САД), летал на И-16 и ЛаГГ-3. В июле 1943 года направлен старшим лётчиком в 516-й ИАП (5 февраля 1944 года преобразован в 153-й Гвардейский ИАП). Летал на Як-1, Як-7 и Як-9.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 153-го Гвардейского истребительного авиационного полка (12-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии капитан А. Н. Гришин совершил 378 боевых вылетов, провёл 49 воздушных боёв, в которых сбил лично 13 и в составе группы 2 самолёта противника. Воевал на Западном, Степном, 2-м Украинском, 1-м Украинских фронтах. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 4822).

После окончания войны продолжал служить в ВВС. В 1948 году окончил Высшие офицерские лётно-тактические курсы. С 11 июля 1964 года Гвардии подполковник А. Н. Гришин - в запасе. Жил и работал в Москве. Умер 22 августа 1974 года, похоронен на Бабушкинском кладбище.

Награждён орденами: Ленина (27.06.1945), Красного Знамени (05.11.1941, 17.07.1944, 04.05.1945), Александра Невского (22.10.1944), Отечественной войны 1-й степени (06.09.1943), Красной Звезды (30.04.1954); медалями.