Родился 31 августа 1916 года в деревне Пузяево (Некоузский район Ярославской области). Окончил сельскую школу. С 1 сентября 1937 года в рядах Красной Армии, призван Некоузским РВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС Дальневосточного фронта: 3-м ИАП, 529-м ИАП, 583-м ИАП и 306-м ИАП (8 июля 1944 года передан из ДВФ в состав формируемой в Орловском военном округе 181-й ИАД).

С 14 ноября 1944 года старший лейтенант П. И. Горемыкин в действующей армии. Воевал в составе 306-го ИАП (181-я ИАД). К боевой работе приступил 14 января 1945 года, временно исполняя обязанности командира эскадрильи и заместителя командира полка по воздушно-стрелковой службе, с мая 1945 года - штурман полка. Участник боёв за взятие Берлина и освобождение Праги. Летал на Як-9.

К 11 мая 1945 года штурман 306-го истребительного авиационного полка (181-я истребительная авиационная дивизия, 3-й штурмовой авиационный корпус Резерва Ставки ВГК, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) капитан П. И. Горемыкин совершил 68 боевых вылетов, в 22 воздушных боях сбил лично 8 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 13 июня 1958 года подполковник П. И. Горемыкин - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (05.04.1945, 12.05.1945, 30.12.1956, 14.08.1957), Отечественной войны 2-й степени (29.05.1945), Красной Звезды (20.04.1953, 04.06.1955); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (06.11.1947).