Родился в 1918 году в городе Астрахани (Астраханская область). С сентября 1940 года в рядах Красной Армии. Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 20 июня 1942 года младший лейтенант А. П. Горбачёв на фронтах Великой Отечественной войны. Боевую деятельность начал в должности лётчика 20-го ИАП (в составе Ударной авиагруппы и Особой Морской авиагруппы Ставки ВГК, действовал в оперативном подчинении ВВС Волховского фронта), летал на Як-1. 5 июля 1942 года, в составе ОМАГ СВГК, полк совершил перелёт на Северный флот, где продолжил вести боевую работу. С 5 ноября 1942 года воевал в 255-м ИАП СФ, где летал на Як-1 и "Аэрокобре". 19 апреля 1943 года потерпел аварию на самолёте Як-1: на взлёте столкнулся с капониром.

29 февраля 1944 года командир звена 1-й эскадрильи 255-го истребительного авиационного полка (5-я минно-торпедная авиационная дивизия, ВВС Северного флота) лейтенант А. П. Горбачёв сбит зенитной артиллерией противника и погиб в районе посёлка Луостари (Мурманская область). Всего совершил более 70 боевых вылетов, провёл более 20 воздушных боёв, в которых сбил лично 7 самолётов противника (ещё 1 - предположительно).

Награждён орденами: Красного Знамени (29.11.1943), Красной Звезды (26.08.1943); медалью.

Список известных воздушных побед А. П. Горбачёва:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
10.08.1943	1  Ме-110	мыс Берлевог	"Аэрокобра"
26.08.1943	1  Ме-110	Сюльте-фиорд
06.09.1943	1  Ме-109  (предположительно)	мыс Эккерле
19.09.1943	1  Ме-109	Вардэ
20.09.1943	1  Ме-109	Конгс-фиорд
28.09.1943	1  ФВ-190	Вичаны - порт Владимир
19.10.1943	1  Ме-109	Вардэ - мыс Эккере
03.11.1943	1  ФВ-190	Киркенес - полуостров Рыбачий
Всего сбитых самолётов - 7 + 0  (ещё 1 + 0 предположительно);  боевых вылетов - более 70;  воздушных боёв - более 20.

Из фотоматериалов военных лет:

Из материалов прессы военных лет: