Родился 28 декабря 1918 года в селе Яготин (ныне город Киевской области Украины). Окончил 7 классов средней школы, Киевское речное училище (в 1938 году) и городской аэроклуб. Работал помощником капитана парохода "Ленинград" Днепровского речного пароходства. 24 марта 1939 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, окончил Одесскую военную авиационную школу лётчиков.

С июня 1941 года младший лейтенант А. И. Гирич на фронтах Великой Отечественной войны в составе 12-го ИАП (26 декабря 1941 года переименован в 486-й ИАП). Прошёл путь от старшего лётчика до командира эскадрильи. Летал на И-153, ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7.

К 20 сентября 1944 года командир эскадрильи 486-го истребительного авиационного полка (279-я истребительная авиационная дивизия, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) майор А. И. Гирич совершил 439 боевых вылетов, в воздушных боях сбил 15 самолётов противника лично и 4 в составе группы (в наградном листе говорится о 7 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 2277).

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 486-го истребительного авиационного полка (279-я истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус) майор А. И. Гирич совершил 478 боевых вылетов, провёл 84 воздушных боя, сбил лично 17 и в составе группы 4 самолёта противника. Сражался на Юго-Западном, Крымском, Северо-Западном, Центральном, Белорусском и 2-м Украинском фронтах.

После окончания войны продолжал служить в ВВС, командовал дивизией. В 1950 году окончил Военно-Воздушную академию. В 1958 году генерал-майор авиации А. И. Гирич окончил Военную академию Генерального штаба и назначен начальником кафедры Военно-Воздушной академии. Жил в посёлке Монино Московской области. Умер 11 апреля 1973 года. Похоронен на Гарнизонном кладбище в Монино. Именем Героя назван пассажирский теплоход МРФ Украины. Бюст А. И. Гирича установлен на аллее Героев в городе Яготин Киевской области.

Награждён орденами: Ленина (23.02.1945), Красного Знамени (04.09.1943), Суворова 3-й степени (08.06.1945), Красной Звезды (06.11.1941, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).