Родился 30 апреля 1923 года в деревне Хоролево (ныне Славгородский район Могилёвской области Республики Беларусь). 28 мая 1941 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, по специальному набору отправлен в Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков.

С 12 ноября 1942 года сержант М. Н. Гамшеев в действующей армии: в должности пилота 4-го ИАП (226-я САД и 287-я ИАД), где летал на Як-1. С февраля 1943 года - старший лётчик 2-го ИАП (18 марта 1943 года преобразован в 85-й Гвардейский ИАП). Сражался на Сталинградском, Южном, 4-м Украинском, 1-м Украинском и 2-м Украинском фронтах. Летал на Як-1, Як-9 и Як-3. 21 марта 1943 года получил лёгкие ожоги лица и рук.

К 9 мая 1945 года командир звена 1-й эскадрильи 85-го Гвардейского истребительного авиационного полка (6-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант М. Н. Гамшеев совершил 276 боевых вылетов, в 73 воздушных боях сбил лично 14 самолётов противника (в последнем наградном листе указывается на 16 личных побед).

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 13 мая 1947 года Гвардии капитан М. Н. Гамшеев - в запасе. Умер в 1985 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (22.07.1943, 13.10.1943, 05.09.1944), Отечественной войны 1-й степени (30.04.1945, 11.03.1985); медалями, в том числе "За отвагу" (02.05.1945).