Родился 11 февраля 1911 года на Арчединских дачах (ныне посёлок Арчединского лесхоза Фроловского района Волгоградской области). В 6 лет остался сиротой, воспитывался у старшего брата. С 9 лет работал пастухом в Арчединском лесхозе, с 1926 года - лесорубом. В 1930 году уехал в город Сталинград (Волгоград), в 1932 году окончил 2 курса рабфака. С 15 февраля 1932 года в рядах Красной Армии, по специальному набору был направлен в Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков, которую окончил в 1934 году. Служил в ВВС Дальневосточной Краснознамённой армии: лётчиком, старшим лётчиком, командиром эскадрильи. С июля 1942 года майор А. У. Ерёмин командовал 911-м ИАП. С декабря 1942 года - 534-м ИАП, в том же месяце вместе с лётчиками направлен в 8-й ЗАП (Саратовская область), где формировался 812-й ИАП, командиром которого был назначен А. У. Ерёмин.

С 18 апреля 1943 года майор А. У. Ерёмин на фронтах Великой Отечественной войны. Боевое крещение получил на Северо-Кавказском фронте, участвовал в боях на Кубани, летал на Як-1. В июне 1943 года назначен командиром 402-го ИАП (4-я Воздушная армия), сражался на Южном и 4-м Украинском фронтах, летал на Як-1 и Як-9. В июне 1944 года освобождён от должности командира полка. В августе-ноябре 1944 года - лётчик-инспектор по технике пилотирования 181-й ИАД, которая формировалась в тылу. В ноябре 1944 года назначен командиром 355-го ИАП (1-й Украинский фронт), летал на Як-9.

К маю 1945 года командир 355-го истребительного авиационного полка (181-я истребительная авиационная дивизия, 8-й штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) подполковник А. У. Ерёмин совершил около 100 боевых вылетов, провёл 32 воздушных боя, в которых сбил лично 17 и в составе группы 1 самолёт противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7711).

После войны продолжил службу в ВВС. В 1947 году окончил Курсы усовершенствования офицерского состава. Командовал 216-й Гомельской истребительной авиационной дивизией ПВО. С февраля 1952 года по июль 1953 года дивизия под его командованием участвовала в Корейской войне 1950-1953 гг. По его командованием лётчики дивизии сбили 107 самолётов США, свои потери составили 57 самолётов и 15 погибших лётчиков. Сам А. У. Ерёмин воздушных побед не имел. После возвращения в СССР служил в Бакинском округе ПВО. С 29 ноября 1955 года полковник А. У. Ерёмин - в запасе. Жил в городе Волгограде. Умер 30 марта 1977 года. На родине Героя, в посёлке Арчединского лесхоза, установлен памятник. На здании Фроловского лесхоза в Волгоградской области - мемориальная доска.

Награждён орденами: Ленина (27.06.1945), Красного Знамени (05.05.1943, 24.12.1943, 30.04.1945, 05.11.1954), Александра Невского (29.04.1944), Отечественной войны 2-й степени (29.05.1945), Красной Звезды (30.04.1947); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).