Родился 29 ноября 1922 года в деревне Ножево (ныне город Пудож, административный центр Пудожского района Республики Карелия). Окончил среднюю школу. С 20 февраля 1941 года в рядах Красной Армии, призван Реутовским РВК (Московской области). В 1942 году окончил военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 16-й ЗИАП Приволжского военного округа.

С 18 июня 1943 года младший лейтенант А. П. Еросинин в действующей армии: в должности пилота 56-го Гвардейского ИАП, который находился на отдыхе (в резерве 283-й ИАД) в городе Данков (Липецкой области). С 6 сентября 1943 года приступил к боевой работе на Центральном фронте, который 20 октября 1943 года был переименован в Белорусский фронт (в составе 283-й ИАД, 16-й Воздушной армии), летая на Як-1Б.

В ноябре 1943 года был переведён на должность лётчика в 116-й Гвардейский ИАП. Воевал на Белорусском фронте, который 17 февраля 1944 года был переименован в 1-й Белорусский фронт (в составе той же 283-й ИАД, 16-й Воздушной армии), продолжая летать на Як-1Б. 12 июля 1944 года полк перебазировался в состав 6-й Воздушной армии, на левый фланг 1-го Белорусского фронта и вошёл в 13-й ИАК Резерва СВГК. Боевой работы не вёл. 25 июля 1944 года лётный состав полка убыл в город Саратов на авиазавод № 292 для переучивания и получения истребителей Як-3. С 9 сентября 1944 года находился в Резерве СВГК, боевой работы не вёл, занимался учебно-боевой подготовкой. 18 сентября 1944 года лётный состав полка прибыл на аэродром Ивахновичи (Брестской области).

С 25 ноября 1944 года возобновил боевую работу на 1-м Белорусском фронте (в составе 13-го ИАК, 16-й Воздушной армии), летая уже на Як-3. С 14 января по 26 марта 1945 года временно служил в Отдельной разведывательной эскадрилье (созданной Приказом по 13-му ИАК), совершил 51 боевой вылет на разведку войск противника. Затем, в составе своего полка принимал участие в боях за взятие Берлина и освобождение Варшавы.

К 9 мая 1945 года старший лётчик 2-й эскадрильи 116-го Гвардейского истребительного авиационного полка (283-я истребительная авиационная дивизия, 13-й истребительный авиационный корпус Резерва СВГК, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии лейтенант А. П. Еросинин совершил около 80 боевых вылетов (включая более 50 на разведку), провёл более 10 воздушных боёв, сбил лично 7 и в составе пары 1 самолёт противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 15 июня 1953 года Гвардии старший лейтенант А. П. Еросинин - в запасе. Умер 16 ноября 1974 года.

Награждён орденами: Красного Знамени (30.04.1945), Красной Звезды (12.03.1945); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).