Родился 1 января 1923 года в деревне Хобрасово (Починковский район Смоленской области). В раннем детстве переехал вместе с родителями в деревню Бабурино (ныне в черте городского округа Озёры, Московская область). В 1930 году поступил в начальную сельскую школу и проучился там до 1935 года. В 1940 году окончил 10 классов средней школы № 1 в Озёрах. Учёбу совмещал с занятиями в аэроклубе. С августа 1940 года в рядах Красной Армии, призван Озёрским РВК. В октябре 1941 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов в звании сержанта и был оставлен в ней лётчиком-инструктором.

С 5 октября 1943 года младший лейтенант А. Н. Еловский на фронтах Великой Отечественной войны в должности командира звена 69-го Гвардейского ИАП (304-я ИАД, 7-й ИАК). Летал на "Аэрокобре". Сражался на Степном, 2-м Украинском и 1-м Украинском фронтах.

30 ноября 1943 года в воздушном бою получил тяжёлое ранение в левое плечо. Зажав ручку управления самолёта ногами, при помощи здоровой правой руки он довёл самолёт до своей территории и посадил его на фюзеляж в районе Котлов. После выздоровления (курс лечения проходил в госпитале города Коломны), вернулся в часть и продолжил боевую работу.

14 февраля 1945 года заместитель командира эскадрильи 69-го Гвардейского истребительного авиационного полка (23-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 6-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант А. Н. Еловский погиб в авиационной катастрофе. Всего совершил 92 боевых вылета, в 17 воздушных боях сбил лично 13 самолётов противника. Похоронен на военном кладбище в городе Бриг (ныне Бжег, Опольское воеводство, Польша). Его имя носит улица в деревне Бабурино, на которой он жил до войны.

Награждён орденами: Красной Звезды (04.11.1943), Славы 3-й степени (27.04.1944).