Родился 18 июля 1922 года в деревне Новоникольское (ныне Красногорский район Московской области). В 1940 году окончил 10 классов, без отрыва от учёбы учился в Тушинском аэроклубе имени Чкалова (окончил 17 декабря 1940 года). С 21 декабря 1940 года в рядах Красной Армии, призван Красногорским РВК. В январе 1942 года окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов и был оставлен в ней инструктором-лётчиком.

С 15 октября 1942 года сержант С. М. Елизаров на фронтах Великой Отечественной войны в должности пилота 293-го ИАП (287-я ИАД, 8-я Воздушная армия), летал на Як-1. В апреле 1943 года переведён в элитный 9-й Гвардейский ИАП, где освоил ещё "Аэрокобру" и Ла-7. Сражался на Сталинградском, 4-м Украинском и 3-м Белорусском фронтах.

К апрелю 1945 года командир звена 9-го Гвардейского истребительного авиационного полка (303-я истребительная авиационная дивизия, 1-я Воздушная армия, 3-й Белорусский фронт) Гвардии старший лейтенант С. М. Елизаров совершил около 190 боевых вылетов, провёл 75 воздушных боёв, в которых сбил лично 15 и в паре 1 самолёт противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 6232).

После окончания войны служил летчиком-инспектором по технике пилотирования в Магаданской области. Крайний Север оказался вредным для его здоровья и С. М. Елизарова перевели в Крым. Он продолжал летать, освоил новые военные самолёты. Но недуг взял своё, его признали непригодным к лётной службе и он некоторое время работал в штабе полка. С 1955 года Гвардии майор С. М. Елизаров - в отставке, по болезни. Жил в городе Евпатория (Крым). Умер 23 апреля 1958 года, похоронен в Евпатории.

Награждён орденами: Ленина (29.06.1945), Красного Знамени (26.01.1943, 22.07.1943), Отечественной войны 1-й степени (12.03.1945), Красной Звезды (05.01.1943, 16.05.1947, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).