Родился 4 февраля 1918 года в деревне Русско-Сыромясские выселки (Сосновоборский район Пензенской области). Окончил 7 классов средней школы и 1 курс Куйбышевского рабфака. Работал шлифовщиком. С февраля 1940 года в рядах Красной Армии, призван Фрунзенским РВК (города Куйбышева). Был направлен в 1-е Чкаловское военное авиационное училище лётчиков, вскоре переведён в Сталинградскую военную авиационную школу пилотов. С июля 1941 года сержант А. П. Елинов служил в ней инструктором-лётчиком.

С 8 мая 1943 года младший лейтенант А. П. Елинов в действующей армии. Воевал в составе 427-го ИАП (294-я ИАД), где прошёл путь от старшего лётчика до командира звена. Сражался на Воронежском, Степном и 2-м Украинском фронтах. Летал на Як-1.

22 октября 1943 года командир звена 427-го истребительного авиационного полка (294-я истребительная авиационная дивизия, 4-й истребительный авиационный корпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) лейтенант А. П. Елинов не вернулся с боевого задания из района Пятихатка (пропал без вести). К тому времени совершил около 70 боевых вылетов, провёл около 20 воздушных боёв, сбил лично 9 и в составе группы 2 самолёта противника.

Награждён орденом Красного Знамени (30.09.1943).