Родился 28 ноября 1921 года в Москве. Окончил среднюю школу и аэроклуб. С 16 июня 1940 года в рядах Красной Армии, призван Дзержинским РВК (город Мсква). В 1942 году окончил Черниговскую военную авиационную школу пилотов.

С 24 мая 1943 года младший лейтенант Н. С. Егоров на фронтах Великой Отечественной войны в составе 183-го ИАП (2 июля 1944 года преобразован в 150-й Гвардейский ИАП), прошёл путь от рядового лётчика до командира эскадрильи. Летал на Як-1, Як-9 и Як-3. Участвовал в боях на Курской дуге, освобождал Правобережную Украину, участвовал в Ясско-Кишинёвской операции, боях в Румынии и Венгрии. Сражался на Воронежском, Степном и 2-м Украинском фронтах.

19 февраля 1945 года командир эскадрильи 150-го Гвардейского истребительного авиационного полка (13-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант Н. С. Егоров в бою под Будапештом был сбит, в бессознательном состоянии попал в плен, где подвергся хирургическим операциям (потерял ногу). Освобождён из плена советскими войсками в апреле 1945 года. Всего совершил 109 боевых вылетов, в 22 воздушных боях сбил лично 13 и в составе группы 1 самолёт противника (в материалах наградного листа указывается на 15 личных и 1 групповую победы). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7518).

После войны продолжал службу в ВВС. В 1954 году окончил Военно-Воздушную инженерную академию. Работал в ней преподавателем. С 1966 года Гвардии инженер-подполковник Н. С. Егоров - в запасе. Работал преподавателем в Московском авиационно-технологическом институте и Московском институте инженеров Гражданской авиации. Умер 1 декабря 1995 года. Похоронен в Москве на Долгопрудненском кладбище.

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946), Красного Знамени (05.10.1944, 22.02.1945), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (08.09.1943), Красной Звезды (30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).