Родился 28 мая 1918 года в городе Москве. Окончил 8 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал слесарем на московском автозаводе. С 1939 года в рядах Красной Армии. В 1941 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков.

С 10 августа 1942 года сержант А. А. Егоров на фронтах Великой Отечественной войны в составе 438-го истребительного авиационного полка (27 октября 1944 года преобразован в 212-й Гвардейский ИАП). Летал на "Харрикейне", Як-7 и "Аэрокобре".

К концу войны штурман 212-го Гвардейского истребительного авиационного полка (22-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 6-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии капитан А. А. Егоров выполнил 271 боевой вылет, провёл 66 воздушных боёв, в которых лично сбил 25 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 6558).

После войны продолжал служить в ВВС страны. В 1951 году окончил Военно-Воздушную академию, командовал истребительным авиационным полком. 25 сентября 1951 года Гвардии подполковник А. А. Егоров погиб в авиационной катастрофе.

Награждён орденами: Ленина (27.06.1945), Красного Знамени (09.06.1944, 15.08.1944, 12.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (24.12.1943), Красной Звезды (13.09.1942); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).