Родился в 1923 году в селе Зеленовка (Гавриловский район Тамбовской области). Окончил 7 классов Булыгинской школы и 3 курса музыкального техникума. С 1941 года в рядах Красной Армии. В 1942 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов.

С 26 июня 1943 года сержант А. А. Дьячков на фронтах Великой Отечественной войны. Воевать начал в составе 297-го ИАП (2 июля 1944 года преобразован в 179-й Гвардейский ИАП). Был лётчиком, старшим лётчиком и командиром звена. 7 июля 1943 года легко ранен в воздушном бою. 4 июня 1944 года осуждён судом военного трибунала (вместе с двумя другими лётчиками, в нетрезвом виде совершил убийство заведующего продовольственным складом) на 10 лет с разжалованием в рядовые. В сентябре 1944 года переведён в 177-й Гвардейский ИАП. В январе 1945 года вернулся обратно в 179-й Гвардейский ИАП. Воевал на Воронежском, Степном, 2-м Украинских фронтах. Летал на Ла-5.

К 15 января 1945 года лётчик 179-го Гвардейского истребительного авиационного полка (14-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии рядовой А. А. Дьячков совершил 217 боевых вылетов, провёл 54 воздушных боя, в которых сбил лично 27 самолётов противника. За эти подвиги представлен к высшей награде страны.

31 марта 1945 погиб в тренировочном полёте на учебном Ла-5 на аэродроме Алагивилла (пригород Будапешта). Всего совершил более 250 боевых вылетов, провёл более 60 воздушных боёв, сбил лично 30 и в составе группы 1 самолёт противника.

16 мая 1945 года судимость снята с посмертным возвращением воинского звания "Гвардии старший лейтенант". Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946, посмертно), Красного Знамени (26.10.1943, 21.11.1943), Отечественной войны 2-й степени (25.08.1943); медалями.