Родился 20 декабря 1918 года в городе Александровск-Грушевский (ныне город Шахты Ростовской области). Окончил 7 классов и техникум в городе Таганрог. С 10 августа 1936 года в рядах Красной Армии, призван Смольнинским РВК (города Ленинграда, ныне - Санкт-Петербург). По комсомольской путёвке направлен в Чугуевское военное авиационное училище лётчиков, которое окончил в 1940 году. Служил в нём инструктором-лётчиком.

С 20 августа 1942 года лейтенант Е. П. Дранищев в действующей армии. Воевать начал в должности командира звена 437-го ИАП (287-я ИАД), летал на Ла-5. 23 октября 1942 года был направлен в 9-й Гвардейский ИАП (6-я Гвардейская ИАД), где летал на Як-1 и "Аэрокобре".

К маю 1943 года заместитель командира эскадрильи 9-го Гвардейского истребительного авиационного полка (6-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 8-я Воздушная армия, Южный фронт) Гвардии старший лейтенант Е. П. Дранищев совершил 80 боевых вылетов, провёл 33 воздушных боя и сбил лично 10 самолётов противника (в наградном листе говорится о 11 личных победах). За эти подвиги был представлен к званию Героя Советского Союза.

20 августа 1943 года не вернулся с боевого задания (обстоятельства его гибели и место захоронения неизвестны по сей день). К тому времени выполнил 120 боевых вылетов, провёл около 55 воздушных боёв, в которых сбил лично 17 самолётов противника (в последнем наградном листе, от 26 июля 1943 года, говорится о 20 личных победах). Сражался на Сталинградском и Южном фронтах. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Имя Е. П. Дранищева выбито на стеле Аллеи Героев в Волгограде. Мемориальная доска в память о Герое установлена на здании Таганрогской средней школы № 10, где он учился. Именем Героя названы: школа номер № 44 в посёлке Качкан и переулок в посёлке Артём.

Награждён орденами: Ленина (23.10.1942, 24.08.1943), Красного Знамени (22.07.1943), Александра Невского (01.08.1943); медалью "За оборону Сталинграда".