Родился 23 марта 1916 года в деревне Дупленская (ныне Коченёвский район Новосибирской области). В 1931 году с семьёй переехал в город Щегловск (ныне Кемерово), где окончил 7 классов и школу фабрично-заводского обучения (ФЗО). Работал котельщиком на Кемеровском механическом заводе, без отрыва от производства занимался в Кемеровском аэроклубе. Окончив его в 1940 году, работал инструктором-лётчиком Анжерской лётно-планерной школы (Кемеровская область), которая впоследствии преобразовалась в аэроклуб.

С 23 июня 1941 года в рядах Красной Армии, призван Кемеровским РВК. С 15 декабря 1941 года сержант А. Н. Дергач в действующей армии. По 15 мая 1942 года воевал в составе 674-го НБАП (Северо-Западный фронт), совершил 175 боевых вылетов на самолёте У-2. В мае 1942 года, после переучивания на лётчика-истребителя, был направлен в 161-й ИАП (Ленинградский фронт), где летал на Як-1. С ноября 1942 года воевал в 21-м Гвардейском ИАП (Северо-Западный фронт), летая на ЛаГГ-3. В марте 1943 года направлен в 744-й ИАП (1 мая 1943 года преобразован в 86-й Гвардейский ИАП). Сражался на Ленинградском, 1-м Прибалтийском, 3-м Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. 5 июня 1943 года в воздушном бою был легко ранен в ногу. Летал на Як-7, Як-9 и Як-3.

К июлю 1943 года заместитель командира эскадрильи, он же штурман 86-го Гвардейского истребительного авиационного полка (240-я истребительная авиационная дивизия, 13-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) Гвардии капитан А. Н. Дергач совершил 273 боевых вылетов (в том числе, 175 - на У-2 и 98 - на истребителях), в 24 воздушных боях сбил лично 11 самолётов противника (в наградном листе говорится о 11 личных и 14 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 2842).

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 86-го Гвардейского истребительного авиационного полка (240-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии майор А. Н. Дергач совершил около 400 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 15 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. В 1955 году окончил Курсы усовершенствования офицерского состава. В 1958-1971 гг. был начальником авиации Воздушно-Десантных войск СССР. С 3 июля 1971 года Гвардии полковник А. Н. Дергач - в запасе. Жил в городе Люберцы Московской области. Умер 17 сентября 1983 года. Похоронен в Люберцах на Ново-Люберецком кладбище.

В память о Герое в 2005 году открыта мемориальная доска на здании школы (ныне гимназия № 17) города Кемерово, в которой он учился.

Награждён орденами: Ленина (04.02.1944), Красного Знамени (16.07.1943, 07.02.1945), Александра Невского (07.08.1944), Отечественной войны 1-й степени (20.03.1943), Красной Звезды (15.05.1942, 22.02.1955, 30.12.1956, 10.08.1967); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).