Родился 25 апреля 1920 года в селе Льгово (ныне административный центр Льговского сельского поселения Рязанского района Рязанской области). Окончил 8 классов средней школы. Работал техником-лаборантом в Москве и одновременно учился в аэроклубе Таганского района. С 10 декабря 1939 года в рядах Красной Армии, призван Молотовским РВК (города Москвы). 30 октября 1940 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов с присвоением воинского звания "младший лейтенант" и оставлен в ней лётчиком-инструктором в ней инструктором-лётчиком, вскоре был назначен командиром звена.

С 16 февраля 1943 года младший лейтенант Н. С. Давыдов на фронтах Великой Отечественной войны: в составе 383-го ИАП (36-я ИАД ПВО, Ряжско-Тамбовский район ПВО), который действовал в оперативном подчинении командованию Брянского фронта, летая на Як-7Б.

11 мая 1943 года командир звена 383-го истребительного авиационного полка (36-я истребительная авиационная дивизия ПВО, Ряжско-Тамбовский район ПВО) младший лейтенант Н. С. Давыдов в воздушном бою возле города Ельца сбил огнём бортового оружия один бомбардировщик Ю-88, а затем таранным ударом и второй Ю-88. Сам благополучно приземлился на своём аэродроме. За этот подвиг награждён орденом Ленина.

С 29 июня 1943 года полк действовал в составе войск вновь образованного Западного фронта ПВО. В апреле 1944 года, в связи с реорганизацией войск ПВО страны, включён в 84-ю дивизию ПВО Северного фронта ПВО (образован 29 марта 1944 года на базе Восточного и Западного фронтов ПВО). В июне 1944 года передан в состав 125-й ИАД ПВО и пополнен самолётами Як-9. 30 июля 1944 года передан в состав 148-й ИАД ПВО, в сентябре 1944 года вошёл в 4-й корпус ПВО, 3 ноября 1944 года передан в 144-ю ИАД ПВО, 24 декабря 1944 года включён в состав войск Западного фронта ПВО (2-го формирования). В аnреле 1945 года полк получил на вооружение 20 истребителей Як-9У.

К 9 мая 1945 года заместитель командира эскадрильи, он же штурман эскадрильи 383-го истребительного авиационного полка (144-я истребительная авиационная дивизия, 4-й корпус ПВО, Западный фронт ПВО) старший лейтенант Н. С. Давыдов совершил более 50 боевых вылетов, из них 11 ночью. Проведя около 20 воздушных боёв, сбил лично 8 и в составе пары 3 самолёта противника. Имел лёгкое ранение в ногу во время ночного воздушного боя.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. Окончил Краснознамённую Военно-Воздушную академию (в Монино). С 28 июля 1979 года генерал-майор авиации Н. С. Давыдов - в запасе. Умер 17 октября 2003 года.

Награждён орденами: Ленина (09.10.1943), Красного Знамени (23.12.1944, 22.02.1968), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (07.04.1943, 26.10.1955, 14.08.1957); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).