Родился 8 апреля 1911 года в деревне Мокино (ныне в черте города Кинешма, Кинешемский район Ивановской области). С 18 ноября 1930 года в рядах Красной Армии, призван Вичугским РВК (Ивановская область). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС на Дальнем Востоке.

С 24 июля 1941 года старший лейтенант Г. А. Цветков в действующей армии. Воевать начал в должности командира эскадрильи 6-го ИАП (7 марта 1942 года преобразован в 18-й Гвардейский ИАП), летал на И-16 и Як-7. Сражался на Северо-Западном и Калининском фронтах. Участвовал в воздушных боях в районах городов Новгород и Старая Руса, на дальних подступах к Ленинграду. 8 февраля 1942 года полк сдал оставшиеся 8 самолётов другой части и убыл в тыл на переформирование. К этому времени капитан Г. А. Цветков произвёл 219 боевых вылетов в воздушных боях сбил 8 самолётов противника лично и 2 в составе группы (в наградных документах говорится о 7 личных и 5 групповых победах).

В 5-й запасной авиационной бригаде Сибирского военного округа лётчики полка прошли переучивание на новые самолёты. С 23 июня 1942 года приступили к боевой работе на Западном фронте, в составе 234-й ИАД. Гвардии майор Г. А. Цветков продолжал командовать эскадрильей, а в июле 1942 года был уже штурманом полка.

30 июля 1942 года был назначен командиром 91-го ИАП (234-я ИАД, 263-я ИАД, 202-я ИАД, 214-я ШАД, 256-я ИАД), где летал на Як-9. Командовал полком до августа 1943 года. Сражался на Воронежском фронте. С сентября 1944 года служил в Управлении 130-й ИАД, продолжая летать на Як-9. Участвовал в Восточно-Прусской операции.

К 9 мая 1945 года заместитель командира 130-й истребительной авиационной дивизии (1-я Воздушная армия, 3-й Белорусский фронт) Гвардии подполковник Г. А. Цветков совершил около 350 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 9 и в составе группы 3 самолёта противника (в последнем наградном листе говорится о 10 личных и 15 групповых победах).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. Командовал 409-м ИАП (130-я ИАД), был заместителем командира и командиром дивизии. С 15 января 1955 года Гвардии полковник Г. А. Цветков - в запасе. Жил в Нижнем Новгороде. Умер 28 марта 2004 года.

Награждён орденами: Ленина (23.07.1942), Красного Знамени (11.02.1942, 07.04.1945, 19.11.1951), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (05.11.1946); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (30.04.1945).